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第一章 高等代数基础与空间解析几何初步 1

1.1 直角坐标系 1

一 平面直角坐标系 1

二 空间直角坐标系 2

1.1 矢量的合成与分解 6

一 矢量的概念 7

二 数乘矢量 8

三 矢量的加减法 8

四 矢量在轴上的投影 10

五 矢量的分解 12

一 矢量的标积 19

1.3 矢量的乘积 19

二 标积的坐标表示法 21

三 矢量的矢积 23

四 矢积的坐标表示法 24

五 矢积的应用--力矩 25

六 矢量的混合积 29

1.4 复数及其表示法 35

一 实数与复数 35

二 复数的几何意义 36

三 复数的三角式和指数式 36

四 共轭复数 38

一 复数的加减法 39

1.5 复数的运算 39

二 复数的乘除法 40

三 复数的乘方和开方 41

1.6 行列式的定义 43

一 预备知识 44

二 三阶行列式的定义 45

三 n阶行列式的定义 46

1.7 子行列式·代数余子式 47

1.8 行列式的性质 52

1.9 线性方程组 64

一 基本概念 64

二 克兰姆定理 67

三 线性齐次方程组 69

1.10 消元法解线性方程组 75

1.11 平面与空间直线 85

一 平面方程 86

二 空间的直线方程 92

1.12 二次曲面 99

一 曲面方程与空间曲线方程 99

二 椭球面·球面 102

三 柱面 104

四 锥面·旋转曲面 106

五 椭圆抛物面 108

六 双曲面 109

第二章 一元函数的微分学 113

一 实数的基本性质 113

二 数列的极限 118

2.1 极限与连续 123

三 函数的极限 139

四 连续函数的概念及其重要性质 165

五 初等函数 176

2.2 导数与微分 183

一 导数与微分的概念 183

二 微分法则 194

三 高阶导数 210

2.3 微分学的基本定理 219

一 中值定理 219

二 泰勒定理 230

2.4 导数的应用 253

一 函数的增减与极值 253

二 函数的凸性与拐点 266

三 曲线的概形 271

四 待定式的极限 275

第三章 一元函数的积分学 282

3.1 不定积分 282

一 不定积分 282

二 换元积分法 287

三 换元积分法(续) 296

四 分部积分法 301

五 有理函数的积分法 305

六 无理函数的积分 312

七 超越函数的积分 319

3.2 定积分 330

一 定积分的定义 330

二 微积分学的基本公式--牛-莱公式 335

三 定积分的基本性质 339

四 定积分的换元法与分部积分法 347

五 广义积分 359

一 元素法·平面图形的面积 368

3.3 定积分的应用 368

二 旋转体的体积·平行截面面积为已知的立体的体积 377

三 平面曲线的弧长与旋转面的表面积 383

第四章 无穷级数 390

4.1 级数的概念与性质 390

一 无穷级数的概念 390

二 无穷级数的基本性质与收敛条件 392

4.2 级数收敛性的判断 397

一 正项级数 397

二 绝对收敛级数 402

三 交错级数 404

4.3 幂级数的收敛半径 406

4.4 幂级数的运算 409

一 代数运算 409

二 幂级数的微分与积分 410

4.5 泰勒级数 412

4.6 初等函数的泰勒展开 415

一 直接方法 415

二 间接方法 417

4.7 三角级数 420

4.8 傅里叶级数 422

一 周期函数的傅里叶级数 422

二 傅里叶级数的收敛问题 425

三 奇函数和偶函数的傅里叶级数 428

四 定义在有限区间上的函数的傅里叶级数 430

4.9 复数形式的傅里叶级数 432

第五章 微分方程初步 436

5.1 微分方程的概念 436

5.2 一阶常微分方程 438

一 可分离变量的一阶常微分方程 438

二 一阶线性常微分方程 441

5.3 常系数二阶线性齐次方程 447

5.4 常系数二阶线性非齐次方程 453

5.5 一维振动 462

一 简谐振动 463

二 阻尼振动 465

三 强迫振动 468

5.6 微分方程的幂级数解法举例 471

第六章 多元函数的微分法 474

6.1 二元函数的极限与连续 474

6.2 偏导数与全微分 481

一 定义与举例 481

二 复合函数的微分法 495

6.3 偏导数的应用 504

一 空间曲线的切线与法平面·曲面的切平面与法线 504

二 二元函数的泰勒展开 512

三 隐函数 516

四 极值 525

第七章 重积分 539

7.1 二重积分 539

一 二重积分的定义 539

二 二重积分的计算 544

三 二重积分的计算(续)--二重积分中的变数代换 552

四 二重积分的应用 566

7.2 三重积分 571

一 三重积分的定义与计算 571

二 三重积分中的变数代换·柱坐标·球坐标 578

三 三重积分的力学应用 586

一 第一型曲线积分的定义 591

第八章 曲线积分与曲面积分 591

8.1 第一型曲线积分的概念与计算 591

二 第一型曲线积分的计算 594

8.2 第二型曲线积分的概念与计算 601

一 第二型曲线积分的定义 601

二 第二型曲线积分的计算 603

8.3 格林公式及其应用 611

一 格林公式 611

二 平面上曲线积分与路径无关的条件 620

8.4 第一型曲面积分 628

一 第一型曲面积分的概念 628

二 第一型曲面积分的计算 629

三 第一型曲面积分的计算(续) 637

8.5 第二型曲面积分 646

一 第二型曲面积分的定义 646

二 第二型曲面积分的计算 652

8.6 高斯公式 659

8.7 斯托克司公式 666

第九章 矢量分析 673

9.1 矢量对标量的导数和积分 673

一 矢量对标量的导数 673

二 矢量对标量的积分 680

二 标量场的等值面与梯度 681

一 标量场 681

9.2 标量场·等值面·梯度 681

9.3 矢量场·流线·环量·通量 689

一 矢量场·流线 689

二 矢量的曲线积分·环量 691

三 矢量场的通量 694

9.4 矢量场的散度·高斯公式 697

9.5 矢量场的旋度 703

9.6 矢量场的分类 708

一 有散场和无散场 708

二 有旋场和无旋场 709

三 谐和场 712

四 一般矢量场的分解 713

附录 714

一 代数 714

二 三角 720

三 几何 723

四 导数和微分 735

五 不定积分 737

六 定积分 755

七 Г函数(欧勒积分) 757

八 初等函数的幂级数展开式 758

九 重要平面曲线 761