1 引言 1
1 二阶线性偏微分方程 1
1.1 二阶线性偏微分方程 1
1.2 定解条件 3
2 正交曲线坐标系 6
2.1 正交曲线坐标的一般理论 6
2.2 圆柱坐标和球坐标 10
3 δ函数 15
3.1 δ函数的定义 15
3.2 δ函数的性质 16
3.3 δ函数的辅助函数 18
2 FOURIER 积分 FOURIER 变换 24
1 周期函数的 FOURIER 级数 24
1.1 以2π为周期的函数展成 Fourier 级数 24
1.2 周期为 2l 的函数展成 Fourier 级数 28
2 有限间隔上非周期函数的 FOURIER 级数 33
3 FOURIER 积分 38
3.1 无界区域的 Fourier 积分 38
3.2 复数形式的 Fourier 积分 41
3.3 多重复数形式的 Fourier 积分 42
4 FOURIER 变换 44
4.1 Fourier 变换 45
4.2 Fourier 变换的性质 46
3 波动方程 50
1 方程的导出和定解问题 51
1.1 弦的横振动方程 51
1.2 杆的纵振动 55
1.3 电报方程 56
1.4 二维波动方程 膜的横振动 56
1.5 三维波动方程 电磁波方程 57
2 波动方程的初值问题 63
2.1 无界弦的自由振动 D’Alembert 公式 63
2.2 无界弦的受迫振动 Fourier 变换法 67
2.3 三维波动方程的初值问题基本解 73
3 有界弦的自由振动 分离变量法 82
3.1 分离变量法 第一类齐次边界 82
3.2 解的物理意义 86
3.3 第二类齐次边界条件的定解问题 91
4 有界域的定解问题 95
4.1 有界弦的受迫振动 本征函数展开法 95
4.2 非齐次边界条件问题 边界条件齐次化 98
4.3 Green 函数 102
5 应用举例 108
5.1 矩形区域二维波动方程的定解问题 108
5.2 波导和色散 111
4 热传导方程 115
1 方程的导出和定解问题 115
1.1 热传导方程 115
1.2 扩散方程 120
2 初值问题 123
2.1 无界区域的初值问题 123
2.2 半无界区域的初值问题 129
3 有界域上的定解问题 142
3.1 第一类边界条件的定解问题 142
3.2 第二类边界条件的定解问题 145
3.3 第三类边界条件的 Green 函数 148
4 应用举例 156
4.1 烟囱冒烟的扩散 156
4.2 Stefan 问题 158
1 定解问题的提法 163
5 LAPLACE 方程 163
2 三维 LAPLACE 方程基本解 165
3 有界域的定解问题 168
3.1 矩形区域上的定解问题 168
3.2 圆域上的定解问题 173
4 调和函数的性质 181
4.1 Green 公式 181
4.2 调和函数的性质 184
6 BESSEL 函数及其应用 187
1 圆柱坐标下的 HELMHOLTZ 方程 LAPLACE 方程 187
1.1 Helmholtz 方程 187
1.2 圆柱坐标下的 Helmholtz 方程和 Bessel 方程 188
1.3 Sturm-Liouville 方程的本征值问题 190
1.4 按正交函数系展开的广义 Fourier 级数 196
2 BESSEL 函数 199
2.1 整数阶 Bessel 函数 200
2.2 Bessel 函数的性质 204
2.3 Bessel 方程的解 206
2.4 Fourier-Bessel 级数 207
3 NEUMANN 函数和 HANKEL 函数 215
3.1 Neumann 函数 215
3.2 Hankel 函数 218
3.3 Wronskian 公式 218
4 例题 222
5 其它类型 BESSEL 函数 229
5.1 修正 Bessel 函数 229
5.2 半奇数阶 Bessel 函数 233
5.3 球 Bessel 函数 235
5.4 可转化为 Bessel 方程的方程 239
6.1 与 Bessel 函数有关的公式 245
6 有关 BESSEL 函数的补充内容 245
6.2 Bessel 函数的积分表达式 251
6.3 含 Bessel 函数的积分 253
7 应用举例二个接地导体平面间的 Green 函数 255
7 LEGENDRE 函数及其应用 266
1 球坐标下的 HELMHOLTZ 方程和 LAPLACE 方程 266
2 LEGENDRE 多项式 268
2.1 Legendre 方程 268
2.2 Legendre 多项式 268
2.3 Legendre 多项式的性质 272
2.4 Fourier-Legendre 级数 277
2.5 具有轴对称性的物理问题举例 281
3 连带 LEGENDRE 多项式 288
3.1 连带 Legendre 多项式 288
3.2 连带 Legendre 多项式的性质 289
4.1 球函数 291
4 球函数 291
4.2 球函数的加法定理 294
5 应用举例 球体对平面(声)波的散射 298
8 数值方法 差分法 305
1 将微分方程化成差分方程 306
2 LAPLACE 方程的差分格式 310
3 热传导方程的差分格式 314
4 波动方程的差分格式 317
附录Ⅰ 常微分方程的解法 320
附录Ⅱ 误差函数 323
附录Ⅲ Γ 函数 324
附录Ⅳ FOURIER (傅立叶)变换表 328
附录Ⅴ LAPLACE (拉普拉斯)变换 329
附录Ⅵ BESSEL (贝塞尔)函数的多项式近似 333
参考文献 337
英汉人名对照 338