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1 引言 1

1 二阶线性偏微分方程 1

1.1 二阶线性偏微分方程 1

1.2 定解条件 3

2 正交曲线坐标系 6

2.1 正交曲线坐标的一般理论 6

2.2 圆柱坐标和球坐标 10

3 δ函数 15

3.1 δ函数的定义 15

3.2 δ函数的性质 16

3.3 δ函数的辅助函数 18

2 FOURIER 积分 FOURIER 变换 24

1 周期函数的 FOURIER 级数 24

1.1 以2π为周期的函数展成 Fourier 级数 24

1.2 周期为 2l 的函数展成 Fourier 级数 28

2 有限间隔上非周期函数的 FOURIER 级数 33

3 FOURIER 积分 38

3.1 无界区域的 Fourier 积分 38

3.2 复数形式的 Fourier 积分 41

3.3 多重复数形式的 Fourier 积分 42

4 FOURIER 变换 44

4.1 Fourier 变换 45

4.2 Fourier 变换的性质 46

3 波动方程 50

1 方程的导出和定解问题 51

1.1 弦的横振动方程 51

1.2 杆的纵振动 55

1.3 电报方程 56

1.4 二维波动方程 膜的横振动 56

1.5 三维波动方程 电磁波方程 57

2 波动方程的初值问题 63

2.1 无界弦的自由振动 D’Alembert 公式 63

2.2 无界弦的受迫振动 Fourier 变换法 67

2.3 三维波动方程的初值问题基本解 73

3 有界弦的自由振动 分离变量法 82

3.1 分离变量法 第一类齐次边界 82

3.2 解的物理意义 86

3.3 第二类齐次边界条件的定解问题 91

4 有界域的定解问题 95

4.1 有界弦的受迫振动 本征函数展开法 95

4.2 非齐次边界条件问题 边界条件齐次化 98

4.3 Green 函数 102

5 应用举例 108

5.1 矩形区域二维波动方程的定解问题 108

5.2 波导和色散 111

4 热传导方程 115

1 方程的导出和定解问题 115

1.1 热传导方程 115

1.2 扩散方程 120

2 初值问题 123

2.1 无界区域的初值问题 123

2.2 半无界区域的初值问题 129

3 有界域上的定解问题 142

3.1 第一类边界条件的定解问题 142

3.2 第二类边界条件的定解问题 145

3.3 第三类边界条件的 Green 函数 148

4 应用举例 156

4.1 烟囱冒烟的扩散 156

4.2 Stefan 问题 158

1 定解问题的提法 163

5 LAPLACE 方程 163

2 三维 LAPLACE 方程基本解 165

3 有界域的定解问题 168

3.1 矩形区域上的定解问题 168

3.2 圆域上的定解问题 173

4 调和函数的性质 181

4.1 Green 公式 181

4.2 调和函数的性质 184

6 BESSEL 函数及其应用 187

1 圆柱坐标下的 HELMHOLTZ 方程 LAPLACE 方程 187

1.1 Helmholtz 方程 187

1.2 圆柱坐标下的 Helmholtz 方程和 Bessel 方程 188

1.3 Sturm-Liouville 方程的本征值问题 190

1.4 按正交函数系展开的广义 Fourier 级数 196

2 BESSEL 函数 199

2.1 整数阶 Bessel 函数 200

2.2 Bessel 函数的性质 204

2.3 Bessel 方程的解 206

2.4 Fourier-Bessel 级数 207

3 NEUMANN 函数和 HANKEL 函数 215

3.1 Neumann 函数 215

3.2 Hankel 函数 218

3.3 Wronskian 公式 218

4 例题 222

5 其它类型 BESSEL 函数 229

5.1 修正 Bessel 函数 229

5.2 半奇数阶 Bessel 函数 233

5.3 球 Bessel 函数 235

5.4 可转化为 Bessel 方程的方程 239

6.1 与 Bessel 函数有关的公式 245

6 有关 BESSEL 函数的补充内容 245

6.2 Bessel 函数的积分表达式 251

6.3 含 Bessel 函数的积分 253

7 应用举例二个接地导体平面间的 Green 函数 255

7 LEGENDRE 函数及其应用 266

1 球坐标下的 HELMHOLTZ 方程和 LAPLACE 方程 266

2 LEGENDRE 多项式 268

2.1 Legendre 方程 268

2.2 Legendre 多项式 268

2.3 Legendre 多项式的性质 272

2.4 Fourier-Legendre 级数 277

2.5 具有轴对称性的物理问题举例 281

3 连带 LEGENDRE 多项式 288

3.1 连带 Legendre 多项式 288

3.2 连带 Legendre 多项式的性质 289

4.1 球函数 291

4 球函数 291

4.2 球函数的加法定理 294

5 应用举例 球体对平面(声)波的散射 298

8 数值方法 差分法 305

1 将微分方程化成差分方程 306

2 LAPLACE 方程的差分格式 310

3 热传导方程的差分格式 314

4 波动方程的差分格式 317

附录Ⅰ 常微分方程的解法 320

附录Ⅱ 误差函数 323

附录Ⅲ Γ 函数 324

附录Ⅳ FOURIER (傅立叶)变换表 328

附录Ⅴ LAPLACE (拉普拉斯)变换 329

附录Ⅵ BESSEL (贝塞尔)函数的多项式近似 333

参考文献 337

英汉人名对照 338