第一章 泛函分析基础 1
1 拓扑空间 1
1·1 拓扑空间 1
1·2 闭集、邻域、聚点、闭包 2
1·3 邻域基 2
1·4 Hausdorff 空间、序列的收敛性、映射的连续性 3
1·5 度量空间 3
1·6 完备性 4
1·7 列紧性 6
1·8 线性拓扑空间 7
1·9 半范数 局部凸线性拓扑空间 8
1·10 空间 Cm(Ω)和C∞0(Ω)的拓扑化 9
1·11 赋范空间及其完备化 11
1·12 内积空间及其完备化 12
2 开映射定理 15
2·1 Banach 空间的 Bairé 性质 15
2·2 线性算子 15
2·3 开映射定理 17
2·4 逆算子定理 19
2·5 闭图形定理 20
2·6 线性算子的强扩张 20
3 共鸣定理 23
3·1 共鸣定理 23
3·2 共鸣定理的两个推论 24
3·3 Banach-Sake 定理 26
4 Riesz 表现定理 27
4·1 正交投影定理 27
4·2 Riesz 表现定理 28
4·3 Hilbert 空间的共轭空间 30
4·4 Lax-Milgram 定理 31
5 Hahn-Banach 延拓定理 33
5·1 连续函数的延拓 33
5·2 Zorn 引理 34
5·3 线性空间中的 Hahn-Banach 延拓定理 35
5·4 线性赋范空间中的 Hahn-Banach 延拓定理 37
5·5 Hahn-Banach 延拓定理的推论，共轭空间 38
5·6 Hahn-Banach 延拓定理的几何形式、凸集分离定理 40
6 弱收敛和弱收敛 43
6·1 弱收敛 43
6·2 弱收敛 45
6·3 弱列紧 46
7 线性算子的共轭算子和弱扩张 47
7·1 有界线性算子的共轭算子 47
7·2 一般线性算子的共轭算子 48
7·3 线性算子的(弱)闭扩张 49
7·4 微分算子的弱扩张 50
8 算子方程 50
8·1 线性算子的豫解集和谱 50
8·2 有界线性算子方程 52
8·3 紧线性算子 53
8·4 紧线性算子的例——Fredholm 型积分算子 56
8·5 紧线性算子方程 Riesz-Schauder 理论 59
习题 67
第二章 索伯列夫空间 71
1 空间 Lp(Ω) 71
1·1 空间 Lp(Ω)(1≤P≤∞)的定义及其基本特性 71
1·2 空间 Lp(Ω)(1≤P≤∞)的子集为列紧的条件 72
2 磨光算子 均值逼近 73
2·1 磨光算子的定义 73
2·2 对 Lp(Ω)中函数的均值逼近 74
2·4 对空间 ？p(Ω)(1≤P＜∞)中函数的均值逼近 77
2·3 变分法基本引理 77
2·5 单位分解定理 79
3 广义微商 80
3·1 弱广义微商 81
3·2 强广义微商 逐项求微商 83
3·3 广义微商对函数的局部依赖性 87
3·4 广义微商的运算法则 88
4 索伯列夫空间 89
4·1 索伯列夫空间的定义及其基本性质 89
4·2 C∞(Ω)在 Wm,p(Ω)(1≤P＜∞)的稠密性 91
4·3 坐标变换 93
4·4 L-型域 锥性质 95
4·5 中间微商的插值不等式 C∞?(RN)在 Wm,p(Ω)的稠密性 98
4·6 Wm,p(Ω)中函数的边界值 107
5 嵌入定理 111
5·1 嵌入的概念 111
5·2 CmB(Ω)上的索伯列夫积分恒等式 111
5·3 位势型积分算子 116
5·4 Wm,p(Ω)中的索伯列夫积分恒等式 121
5·5 嵌入定理 123
5·6 等价范数定理 127
6 非整数次的索伯列夫空间 129
6·1 速降广义函数 129
6·2 Fourier 变换 132
6·3 非整数次空间 Hs(RN) 134
6·4 非整数次空间 Hs(Ω) 137
6·5 非整数次空间 H-S0(Ω)(s＞0) 138
6·6 迹空间 139
习题 142
第三章 拓扑度与不动点原理 143
1 欧氏空间中连续映射的拓扑度 143
1·1 正规映射的拓扑度 143
1·2 连续映射的拓扑度及其性质 151
2 Banach 空间中全连续场的拓扑度 158
3 A-proper 映射的广义拓扑度 162
4 不动点原理 164
4·1 Brouwer 不动点定理与开集不变性定理 164
4·2 Schauder 不动点定理和 Красносельскии 不动点定理 165
4·3 Leray-Schauder 不动点原理 167
4·4 边界条件与不动点定理 168
5 不动点算子方程的近似可解性 169
习题 171
第四章 Banach 空间的微分学 174
1 向量值函数的微积分 174
1·1 向量值函数的导数和 Riemann 积分 174
1·2 向量值函数的 Bochner 积分 177
2 Gateaux 微分 180
3 Frechet 微分 183
3·1 Frechet 微分的定义及性质 183
3·2 Frechet 微分与 Gateaux 微分的关系 187
4 高阶微分 188
5 中值公式 Taylor 公式 191
5·1 中值公式 191
5·2 Taylor 公式 194
6 梯度算子的判别条件 195
7 隐函数定理 199
7·1 偏导数的概念 199
7·2 隐函数定理 200
7·3 推广的隐函数定理 204
8 分歧方程 206
习题 209
1·1 压缩映射 213
1 简单的迭代法 213
第五章 迭代法 213
1·2 非膨胀算子 218
1·3 加速迭代，切比晓夫迭代 219
2 解非齐次方程的迭代法 222
2·1 迭代法的一般形式 222
2·2 差分程序与松驰法的变体 227
3 迭代程序的建立 229
3·1 Newton 方法 229
3·2 Newton 程序的收敛性定理 230
3·3 Newton 方法的变形，简化的 Newton 方法 236
3·4 Newton 方法的应用 240
3·5 梯度法(最速下降法) 247
4 连续法 252
4·1 连续法 252
4·2 延拓理论 253
4·3 数值连续法 259
4·4 Davidenko 方法 263
习题 265
第六章 变分原理 266
1 泛函的无约束极值 266
1·1 极值存在的必要条件 266
1·2 弱下半连续条件与极值存在性 267
1·3 位势型算子方程的可解性 271
1·4 PS 条件与爬山引理 278
1·5 极值问题的有限维近似 284
2 泛函的约束极值 287
2·1 Lagrange 乘子 288
2·2 非线性本征值问题 290
2·3 本征值问题的 Galerkin 近似 296
2·4 Kuhn-Tucker 定理与对偶原理 297
3 凸集上的泛函极值 302
3·1 凸集上可微泛函的极值 302
3·2 凸集上非光滑泛函的极值 305
3·3 Ritz 方法 308
4 极值解的迭代法 310
4·1 下降法的一般原理 310
4·2 迭代投影法 311
4·3 罚函数方法 313
习题 316
第七章 算子方程的投影解法 318
1 投影解法的概述 318
2 第二型 Fredholm 方程的投影解 326
2·1 第二型方程的投影近似可解性 326
2·2 应用举例——Fredholm 积分方程的投影近似解 328
3 线性算子方程的投影解 330
3·1 有界线性算子方程的投影解 330
3·2 稠定线性算子方程的广义解及其投影近似 334
3·3 具列紧扰动的线性算子方程的广义解及其投影近似 338
3·4 二阶椭圆型方程的 Dirichlet 问题的广义解及其投影逼近 340
3·5 计算过程的稳定性 343
3·6 本征值问题的投影近似 345
4 非线性算子方程的投影解 346
4·1 单调算子 346
4·2 单调算子方程的投影近似可解性 349
4·3 具列紧扰动的单调算子方程 353
4·4 应用举例——非线性椭圆方程的边值问题 355
习题 358
第八章 逼近论 360
1 最佳逼近 360
1·1 最佳逼近问题的一般提法 360
1·2 线性赋范空间中最佳逼近元的存在性与唯一性 362
1·3 线性赋范空间中最佳逼近元的特征 365
2 插值逼近 371
2·1 插值逼近问题的一般提法 371
2·2 多项式插值的例子 372
2·3 一般的插值逼近的误差估计 381
3 样条逼近 386
3·1 插值样条的抽象提法 386
3·2 插值样条的特征，唯一性和存在性 389
3·3 插值样条的构造 391
3·4 插值样条的收敛性 398
3·5 平滑样条 402
习题 408
参考文献 411