数值分析的泛函方法PDF电子书下载

第一章 泛函分析基础 1

1 拓扑空间 1

1·1 拓扑空间 1

1·2 闭集、邻域、聚点、闭包 2

1·3 邻域基 2

1·4 Hausdorff 空间、序列的收敛性、映射的连续性 3

1·5 度量空间 3

1·6 完备性 4

1·7 列紧性 6

1·8 线性拓扑空间 7

1·9 半范数 局部凸线性拓扑空间 8

1·10 空间 Cm(Ω)和C∞0(Ω)的拓扑化 9

1·11 赋范空间及其完备化 11

1·12 内积空间及其完备化 12

2 开映射定理 15

2·1 Banach 空间的 Bairé 性质 15

2·2 线性算子 15

2·3 开映射定理 17

2·4 逆算子定理 19

2·5 闭图形定理 20

2·6 线性算子的强扩张 20

3 共鸣定理 23

3·1 共鸣定理 23

3·2 共鸣定理的两个推论 24

3·3 Banach-Sake 定理 26

4 Riesz 表现定理 27

4·1 正交投影定理 27

4·2 Riesz 表现定理 28

4·3 Hilbert 空间的共轭空间 30

4·4 Lax-Milgram 定理 31

5 Hahn-Banach 延拓定理 33

5·1 连续函数的延拓 33

5·2 Zorn 引理 34

5·3 线性空间中的 Hahn-Banach 延拓定理 35

5·4 线性赋范空间中的 Hahn-Banach 延拓定理 37

5·5 Hahn-Banach 延拓定理的推论，共轭空间 38

5·6 Hahn-Banach 延拓定理的几何形式、凸集分离定理 40

6 弱收敛和弱收敛 43

6·1 弱收敛 43

6·2 弱收敛 45

6·3 弱列紧 46

7 线性算子的共轭算子和弱扩张 47

7·1 有界线性算子的共轭算子 47

7·2 一般线性算子的共轭算子 48

7·3 线性算子的(弱)闭扩张 49

7·4 微分算子的弱扩张 50

8 算子方程 50

8·1 线性算子的豫解集和谱 50

8·2 有界线性算子方程 52

8·3 紧线性算子 53

8·4 紧线性算子的例——Fredholm 型积分算子 56

8·5 紧线性算子方程 Riesz-Schauder 理论 59

习题 67

第二章 索伯列夫空间 71

1 空间 Lp(Ω) 71

1·1 空间 Lp(Ω)(1≤P≤∞)的定义及其基本特性 71

1·2 空间 Lp(Ω)(1≤P≤∞)的子集为列紧的条件 72

2 磨光算子 均值逼近 73

2·1 磨光算子的定义 73

2·2 对 Lp(Ω)中函数的均值逼近 74

2·4 对空间 ？p(Ω)(1≤P＜∞)中函数的均值逼近 77

2·3 变分法基本引理 77

2·5 单位分解定理 79

3 广义微商 80

3·1 弱广义微商 81

3·2 强广义微商 逐项求微商 83

3·3 广义微商对函数的局部依赖性 87

3·4 广义微商的运算法则 88

4 索伯列夫空间 89

4·1 索伯列夫空间的定义及其基本性质 89

4·2 C∞(Ω)在 Wm,p(Ω)(1≤P＜∞)的稠密性 91

4·3 坐标变换 93

4·4 L-型域 锥性质 95

4·5 中间微商的插值不等式 C∞?(RN)在 Wm,p(Ω)的稠密性 98

4·6 Wm,p(Ω)中函数的边界值 107

5 嵌入定理 111

5·1 嵌入的概念 111

5·2 CmB(Ω)上的索伯列夫积分恒等式 111

5·3 位势型积分算子 116

5·4 Wm,p(Ω)中的索伯列夫积分恒等式 121

5·5 嵌入定理 123

5·6 等价范数定理 127

6 非整数次的索伯列夫空间 129

6·1 速降广义函数 129

6·2 Fourier 变换 132

6·3 非整数次空间 Hs(RN) 134

6·4 非整数次空间 Hs(Ω) 137

6·5 非整数次空间 H-S0(Ω)(s＞0) 138

6·6 迹空间 139

习题 142

第三章 拓扑度与不动点原理 143

1 欧氏空间中连续映射的拓扑度 143

1·1 正规映射的拓扑度 143

1·2 连续映射的拓扑度及其性质 151

2 Banach 空间中全连续场的拓扑度 158

3 A-proper 映射的广义拓扑度 162

4 不动点原理 164

4·1 Brouwer 不动点定理与开集不变性定理 164

4·2 Schauder 不动点定理和 Красносельскии 不动点定理 165

4·3 Leray-Schauder 不动点原理 167

4·4 边界条件与不动点定理 168

5 不动点算子方程的近似可解性 169

习题 171

第四章 Banach 空间的微分学 174

1 向量值函数的微积分 174

1·1 向量值函数的导数和 Riemann 积分 174

1·2 向量值函数的 Bochner 积分 177

2 Gateaux 微分 180

3 Frechet 微分 183

3·1 Frechet 微分的定义及性质 183

3·2 Frechet 微分与 Gateaux 微分的关系 187

4 高阶微分 188

5 中值公式 Taylor 公式 191

5·1 中值公式 191

5·2 Taylor 公式 194

6 梯度算子的判别条件 195

7 隐函数定理 199

7·1 偏导数的概念 199

7·2 隐函数定理 200

7·3 推广的隐函数定理 204

8 分歧方程 206

习题 209

1·1 压缩映射 213

1 简单的迭代法 213

第五章 迭代法 213

1·2 非膨胀算子 218

1·3 加速迭代，切比晓夫迭代 219

2 解非齐次方程的迭代法 222

2·1 迭代法的一般形式 222

2·2 差分程序与松驰法的变体 227

3 迭代程序的建立 229

3·1 Newton 方法 229

3·2 Newton 程序的收敛性定理 230

3·3 Newton 方法的变形，简化的 Newton 方法 236

3·4 Newton 方法的应用 240

3·5 梯度法(最速下降法) 247

4 连续法 252

4·1 连续法 252

4·2 延拓理论 253

4·3 数值连续法 259

4·4 Davidenko 方法 263

习题 265

第六章 变分原理 266

1 泛函的无约束极值 266

1·1 极值存在的必要条件 266

1·2 弱下半连续条件与极值存在性 267

1·3 位势型算子方程的可解性 271

1·4 PS 条件与爬山引理 278

1·5 极值问题的有限维近似 284

2 泛函的约束极值 287

2·1 Lagrange 乘子 288

2·2 非线性本征值问题 290

2·3 本征值问题的 Galerkin 近似 296

2·4 Kuhn-Tucker 定理与对偶原理 297

3 凸集上的泛函极值 302

3·1 凸集上可微泛函的极值 302

3·2 凸集上非光滑泛函的极值 305

3·3 Ritz 方法 308

4 极值解的迭代法 310

4·1 下降法的一般原理 310

4·2 迭代投影法 311

4·3 罚函数方法 313

习题 316

第七章 算子方程的投影解法 318

1 投影解法的概述 318

2 第二型 Fredholm 方程的投影解 326

2·1 第二型方程的投影近似可解性 326

2·2 应用举例——Fredholm 积分方程的投影近似解 328

3 线性算子方程的投影解 330

3·1 有界线性算子方程的投影解 330

3·2 稠定线性算子方程的广义解及其投影近似 334

3·3 具列紧扰动的线性算子方程的广义解及其投影近似 338

3·4 二阶椭圆型方程的 Dirichlet 问题的广义解及其投影逼近 340

3·5 计算过程的稳定性 343

3·6 本征值问题的投影近似 345

4 非线性算子方程的投影解 346

4·1 单调算子 346

4·2 单调算子方程的投影近似可解性 349

4·3 具列紧扰动的单调算子方程 353

4·4 应用举例——非线性椭圆方程的边值问题 355

习题 358

第八章 逼近论 360

1 最佳逼近 360

1·1 最佳逼近问题的一般提法 360

1·2 线性赋范空间中最佳逼近元的存在性与唯一性 362

1·3 线性赋范空间中最佳逼近元的特征 365

2 插值逼近 371

2·1 插值逼近问题的一般提法 371

2·2 多项式插值的例子 372

2·3 一般的插值逼近的误差估计 381

3 样条逼近 386

3·1 插值样条的抽象提法 386

3·2 插值样条的特征，唯一性和存在性 389

3·3 插值样条的构造 391

3·4 插值样条的收敛性 398

3·5 平滑样条 402

习题 408

参考文献 411