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序言 1
引言 1
第0章 引论 1
0 数学物理与数学模型 1
1 数学模型与黑箱 4
2 三类经典的数学物理方程 5
3 基本定义和定解条件 9
4 方程的分类与化简 10
第一章 泛函分析一些知识 15
0 从数直线谈起 15
1 Hilbert空间 17
2 若干重要几何定理 18
3 直交性与Fourier级数 24
4 对偶空间 27
5 线性算子 31
6 Lax-Milgram定理和Stampacchia定理 35
7 单位分解 39
8 Sobolev空间 40
第二章 外微分方法 54
0 引言 54
1 外微分 54
2 Poincar?定理与逆定理 57
3 星运算与上微分 59
4 变分原理与守恒定律 61
5 并矢与Green定理的推广 61
6 实复转化 64
7 电磁动力学 65
8 流体动力学 74
9 低速质点动力学 75
10 高速质点动力学 80
0 函数的正交展开问题 85
第三章 正交展开法 85
1 Parseval等式 88
2 三角级数的收剑性 90
3 三角级数的一致收敛性 93
4 二重Fourier级数 95
5 在定解问题中的应用 98
第四章 分离变量法 105
0 基本思想 105
1 齐次方程混合问题 106
2 非齐次方程的求解问题 110
3 非齐次边界条件的处理 111
4 其它定解问题 113
5 Bessel函数 117
6 Legendre函数 122
0 映射反演方法 129
1 应用积分变换解边值(初值)问题的普遍原理 129
第五章 积分变换方法 129
2 Fourier变换 133
3 Laplace变换 137
4 高维情况 141
5 空间Hs(Rn) 145
6 空间Hs(Ω) 149
7 软化子及其性质 150
0 适定性问题 154
第六章 偏微分方程问题适定性 154
1 弦振动方程 157
2 Laplace方程 163
3 热传导方程 170
第七章 变分方法 174
0 引言 174
1 数学物理中的变分原理 175
2 非线性算子与变分逆问题 180
3 算子谱的极小问题 187
4 变分等价性 191
5 变分适定性 197
第八章 直接方法 205
0 引言 205
1 Rietz方法 206
2 Galerkin方法 212
3 最小二乘方法 217
4 加权余量方法 222
5 边界元方法 224
6 配点方法 228
7 余量嵌入方法 229
8 半离散Galerkin方法 229
第九章 有限元方法 231
0 内逼近 231
1 有限元方法 234
2 障碍问题 243
第十章 摄动方法 249
0 引言 249
1 基本术语 250
2 椭圆型方程的奇摄动 251
3 双曲型方程的奇摄动 256
4 内部层现象 258
5 积分方程的奇摄动 260
6 离散逼近 264
7 两种奇摄动理论 266
8 几点注释 275
第十一章 初值问题 279
0 初值问题与特征 279
1 解的存在与唯一性 281
2 弱解存在的充要条件 283
3 双曲型算子 285
4 双曲型方程解的存在性与Holmgren定理 287
第十二章 边值问题 295
0 椭圆型方程 295
1 变分形式 296
2 第一边值问题(Dirichlet问题) 299
3 其它边值问题 308
4 在空间Rn上的一般二阶椭圆型方程 311
5 弹性理论问题 318
6 稳定流问题 320
7 电磁场问题 322
8 谱问题 323
第十三章 初边值问题 326
0 热传导方程 326
1 一般抛物型方程 328
2 二阶线性抛物型方程 332
3 在Rn×］0，τ［上的二阶抛物型方程 337
4 流体动力学问题 342
5 几点注释 344
第十四章 变分不等方程 346
0 引言 346
1 解的存在性 351
2 解的正则性 360
3 应用例子 365
第十五章 非线性问题--分叉、怪引子、阵发性与浑沌 375
0 引言 375
1 分叉性与非线性动力系统 376
2 无限与有限、连续与离散 378
3 怪引子、阵发性与浑沌性 383
4 确定性、随机性与测不准 385
5 对称破缺与时空有序 389
6 敏感性与普适性 390
7 结束语 393
附录 395
附录一 记号 395
附录二 Bessel函数J0(x)、J1(x)和J2(x)表 397
附录三 积分变换表 399
内容索引 404
参考文献 412