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前言页 1

序言 1

引言 1

第0章 引论 1

0 数学物理与数学模型 1

1 数学模型与黑箱 4

2 三类经典的数学物理方程 5

3 基本定义和定解条件 9

4 方程的分类与化简 10

第一章 泛函分析一些知识 15

0 从数直线谈起 15

1 Hilbert空间 17

2 若干重要几何定理 18

3 直交性与Fourier级数 24

4 对偶空间 27

5 线性算子 31

6 Lax-Milgram定理和Stampacchia定理 35

7 单位分解 39

8 Sobolev空间 40

第二章 外微分方法 54

0 引言 54

1 外微分 54

2 Poincar?定理与逆定理 57

3 星运算与上微分 59

4 变分原理与守恒定律 61

5 并矢与Green定理的推广 61

6 实复转化 64

7 电磁动力学 65

8 流体动力学 74

9 低速质点动力学 75

10 高速质点动力学 80

0 函数的正交展开问题 85

第三章 正交展开法 85

1 Parseval等式 88

2 三角级数的收剑性 90

3 三角级数的一致收敛性 93

4 二重Fourier级数 95

5 在定解问题中的应用 98

第四章 分离变量法 105

0 基本思想 105

1 齐次方程混合问题 106

2 非齐次方程的求解问题 110

3 非齐次边界条件的处理 111

4 其它定解问题 113

5 Bessel函数 117

6 Legendre函数 122

0 映射反演方法 129

1 应用积分变换解边值(初值)问题的普遍原理 129

第五章 积分变换方法 129

2 Fourier变换 133

3 Laplace变换 137

4 高维情况 141

5 空间Hs(Rn) 145

6 空间Hs(Ω) 149

7 软化子及其性质 150

0 适定性问题 154

第六章 偏微分方程问题适定性 154

1 弦振动方程 157

2 Laplace方程 163

3 热传导方程 170

第七章 变分方法 174

0 引言 174

1 数学物理中的变分原理 175

2 非线性算子与变分逆问题 180

3 算子谱的极小问题 187

4 变分等价性 191

5 变分适定性 197

第八章 直接方法 205

0 引言 205

1 Rietz方法 206

2 Galerkin方法 212

3 最小二乘方法 217

4 加权余量方法 222

5 边界元方法 224

6 配点方法 228

7 余量嵌入方法 229

8 半离散Galerkin方法 229

第九章 有限元方法 231

0 内逼近 231

1 有限元方法 234

2 障碍问题 243

第十章 摄动方法 249

0 引言 249

1 基本术语 250

2 椭圆型方程的奇摄动 251

3 双曲型方程的奇摄动 256

4 内部层现象 258

5 积分方程的奇摄动 260

6 离散逼近 264

7 两种奇摄动理论 266

8 几点注释 275

第十一章 初值问题 279

0 初值问题与特征 279

1 解的存在与唯一性 281

2 弱解存在的充要条件 283

3 双曲型算子 285

4 双曲型方程解的存在性与Holmgren定理 287

第十二章 边值问题 295

0 椭圆型方程 295

1 变分形式 296

2 第一边值问题(Dirichlet问题) 299

3 其它边值问题 308

4 在空间Rn上的一般二阶椭圆型方程 311

5 弹性理论问题 318

6 稳定流问题 320

7 电磁场问题 322

8 谱问题 323

第十三章 初边值问题 326

0 热传导方程 326

1 一般抛物型方程 328

2 二阶线性抛物型方程 332

3 在Rn×］0，τ［上的二阶抛物型方程 337

4 流体动力学问题 342

5 几点注释 344

第十四章 变分不等方程 346

0 引言 346

1 解的存在性 351

2 解的正则性 360

3 应用例子 365

第十五章 非线性问题--分叉、怪引子、阵发性与浑沌 375

0 引言 375

1 分叉性与非线性动力系统 376

2 无限与有限、连续与离散 378

3 怪引子、阵发性与浑沌性 383

4 确定性、随机性与测不准 385

5 对称破缺与时空有序 389

6 敏感性与普适性 390

7 结束语 393

附录 395

附录一 记号 395

附录二 Bessel函数J0(x)、J1(x)和J2(x)表 397

附录三 积分变换表 399

内容索引 404

参考文献 412