第九章 留数计算 1
9—1 留数 1
9—1·1 定义 1
9—1·2 留数定理 2
9—1·3 在极点处的留数 3
9—1·4 一个极限 7
习题一 7
9—2 求积分 8
9—2·1 有理函数的无穷积分 8
9—2·2 有理函数与三角函数乘积的无穷积分 13
9—2·3 三角函数的定积分 24
9—2·4 幂函数与有理函数乘积的广义积分 26
9—2·5 定积分的复变数变换 37
9—2·6 杂例 40
习题二 62
9—3 解析函数零点的个数 65
9—3·1 一般公式 65
9—3·2 几种特殊情况 66
9—3·3 解析函数和的零点个数 72
9—3·4 极限函数的零点个数 73
习题三 77
9—4 反函数 77
9—4·1 严格上升或下降的函数 77
9—4·2 解析函数 80
9—4·3 幂级数的反演 83
习题四 90
9—5 求级数的和 92
9—5·1 项为 n 的有理函数 92
9—5·2 调和级数 100
习题五 105
9—6 整函数的无穷积表示 105
9—6·1 无零点的整函数 105
9—6·2 构造具有指定零点的整函数 107
9—6·3 三角函数的无穷积表示 112
习题六 116
9—7 逊纯函数的展开式 117
9—7·1 性质 117
9—7·2 部分分式展开式 118
9—7·3 哥西方法 121
9—7·4 表示为余切函数的和 129
习题七 133
本章要点 134
复习题九 138
第十章 模、实部及虚部 140
10—1 调和函数 140
10—1·1 定义 140
10—1·2 与解析函数的关系 140
10—1·3 性质 149
10—1·4 积分公式 152
10—1·5 波阿松型积分 157
习题一 163
10—2 阶层曲线 164
10—2·1 隐函数 164
10—2·2 定义与性质 167
10—2·3 与零点的关系 168
10—2·4 纽线 173
习题二 182
10—3 函数的模与零点的模 182
10—3·1 圆域 182
10—3·2 推广公式 194
10—3·3 半圆域 197
习题三 205
10—4 模的性质 205
10—4·1 凸函数 205
10—4·2 最大模 208
10—4·3 模的平均值 214
习题四 221
10—5 实部的最大值 221
10—5·1 单调上升性 221
10—5·2 与最大模的关系 222
10—5·3 导数的最大模 227
习题五 229
10—6 极大模原则的推广 229
10—6·1 有界域 229
10—6·2 角形域 231
10—6·3 极限 235
10—6·4 带形域 242
习题六 244
本章要点 245
复习题十 248
第十一章 保角变换 249
11—1 几何性质 249
11—1·1 保存开域原则 249
11—1·2 保角 250
11—1·3 共形 251
11—1·4 角的扩大 252
习题一 253
11—2 线性变换 253
11—2·1 双线性 253
11—2·2 三个条件 255
11—2·3 交比 257
11—2·4 圆与对称点 257
11—2·5 变圆为圆 259
11—2·6 变半平面为圆域 260
11—2·7 变圆域为圆域 263
习题二 266
11—3 初等函数变换 268
11—3·1 幂函数变换 268
11—3·2 变换 w=1/2（z+1/z） 272
11—3·3 指数函数变换 282
11—3·4 三角函数变换 284
习题三 289
11—4 单叶函数 289
11—4·1 定义 289
11—4·2 性质 291
11—4·3 充分条件 295
11—4·4 变半平面为多边形域 299
习题四 308
11—5 黎曼定理 308
11—5·1 叙述 308
11—5·2 凝聚原理 309
11—5·3 证明 315
11—5·4 另一形式 320
习题五 321
11—6 系数估计 322
11—6·1 面积定理 322
11—6·2 模的估计 332
11—6·3 特殊单叶函数 340
习题六 357
11—7 平面流动 358
11—7·1 势函数 358
11—7·2 绕柱体流动 363
习题七 370
本章要点 370
复习题十一 374
第十二章 收敛圆 377
12—1 奇点与解析点 377
12—1·1 极点 377
12—1·2 奇点的位置 378
12—1·3 解析点 384
12—1·4 过度收敛 391
习题一 399
12—2 渐近性质 400
12—2·1 函数 400
12—2·2 系数 404
12—2·3 函数的极限存在 416
习题二 428
12—3 部分和 429
12—3·1 积分表示 429
12—3·2 有界性 433
12—3·3 零点 439
习题三 445
本章要点 446
复习题十二 448