第一章 常微分方程初值问题的数值解法 1
1 引论 1
1.1一阶常微分方程初值问题 1
1.2 Euler法 2
1.3线性差分方程 6
1.4 Gronwall不等式 11
2 线性多步法 13
2.1数值积分法 13
2.2待定系数法 21
2.3多步法的计算问题 24
3 稳定性、收敛性和误差估计 25
3.1局部截断误差、相容性 25
3.2稳定性 27
3.3收敛性和误差估计 32
3.4绝对和相对稳定性 34
4 预估-校正算法 41
4.1预估-校正算法 41
4.2局部截断误差和局部截断误差主项 43
4.3选步长和改善精度 46
4.4预-校算法举例 47
5 单步法Runge-Kutta法 50
5.1 Taylor展开法 50
5.2单步法的稳定性和收敛性 51
5.3 Runge-Kutta（龙格-库塔）法 54
5.4 Runge-Kutta法的绝对稳定域 60
6外推法 63
6.1多项式外推 63
6.2对初值问题的应用 65
6.3用外推法估计误差 66
7 一阶方程组和高阶方程的初值问题 68
7.1对一阶方程组的推广 68
7.2不显含一阶导数的二阶方程 71
主要参考文献 74
第二章 边值问题的变分形式 75
1 二次函数的极值 75
2 两点边值问题 78
2.1弦的平衡 78
2.2 Sobolev空间Hm（I） 80
2.3极小位能原理 85
2.4虚功原理 91
3 二阶椭圆型边值问题 94
3.1 Sobolev空间Hm（G） 94
3.2极小位能原理 95
3.3自然边值条件 100
3.4虚功原理 102
4 Ritz-Galerkin方法 104
主要参考文献 112
第三章 椭圆和抛物型方程的有限元法 113
1 解一维问题的线性元 114
1.1从Ritz法出发 114
1.2从Galerkin法出发 120
2 线性元的误差估计 125
3 一维高次元 130
3.1一次元（线性元） 131
3.2二次元 132
3.3三次元 134
4 解二维问题的矩形元 139
4.1 Lagrange型公式 139
4.2 Hermite型公式 143
5 三角形元 145
5.1面积坐标及有关公式 146
5.2 Lagrange型公式 150
5.3 Hermite型公式 151
6 曲边元和等参变换 155
7 有限元方程 161
7.1有限元方程的形成 161
7.2矩阵元素的计算 162
7.3边值条件的处理 164
7.4举例 167
8 收敛阶的估计 173
9 抛物型方程的有限元法 179
主要参考文献 182
第四章 椭圆型方程的有限差分法 183
1 差分逼近的基本概念 184
2 一维差分格式 189
2.1直接差分化 190
2.2积分插值法 193
2.3变分差分法 196
2.4边值条件的处理 198
3 矩形网的差分格式 200
3.1五点差分格式 200
3.2边值条件的处理 205
3.3极坐标形式的差分格式 207
4 三角网的差分格式 211
5 极值定理 216
5.1差分方程 216
5.2极值定理 219
5.3五点格式的敛速估计 221
6 能量不等式 224
6.1差分公式 225
6.2若干不等式 227
6.3先验估计 229
6.4解的存在唯一性及收敛速度的估计 232
主要参考文献 234
第五章 抛物型方程的有限差分法 235
1 最简差分格式 235
2 稳定性与收敛性 243
2.1稳定性概念 243
2.2判别稳定性的直接法 246
2.3收敛性和敛速估计 249
3 Fourier方法 251
3.1差分方程的Fourier方法 252
3.2判别差分格式稳定的代数准则 259
4 变系数抛物方程 266
5 分数步长法 272
5.1 ADI法 272
5.2预-校法 276
5.3 LOD法 278
主要参考文献 279
第六章 双曲型方程的有限差分法 280
1 波动方程的差分逼近 280
1.1波动方程及其特征 280
1.2显格式 282
1.3稳定性分析 284
1.4隐格式 288
2 一阶线性双曲型方程组 290
2.1双曲型方程组、特征概念 290
2.2 Cauchy问题、依存域、影响域、决定域 295
2.3其它定解问题 297
3 差分逼近 300
3.1迎风格式 300
3.2积分守恒差分格式 305
3.3粘性差分格式 307
3.4几点注记 310
主要参考文献 313
第七章 离散化方程的解法 314
1 基本迭代法 314
1.1离散方程的基本特征 314
1.2一般迭代法 318
1.3超松弛法（SOR法） 321
2 交替方向迭代法 324
2.1二维交替方向迭代 325
2.2三维交替方向迭代 330
3 预处理共轭斜量法 333
3.1共轭斜量法 333
3.2预处理共轭斜量法 335
4 多重网格法 339
4.1二重网格法 340
4.2多重网格法和套迭代技术 344
4.3推广到多维问题 347
主要参考文献 348