第一章 线性空间和线性变换 1
1 线性空间 1
2 线性空间的同构 4
3 线性变换 5
4 不变子空间 8
第二章 矩阵的标准形 12
1 矩阵的 Jordon 标准形 12
2 Hamilton-Cayley 定理和最小多项式 16
3 有理分式矩阵 19
第三章 内积空间及矩阵理论 25
1 线性赋范空间 25
2 内积空间 29
3 标准正交基和正交变换 32
4 两种特殊的正交变换 37
4.1 初等旋转 37
4.2 镜面反射 38
5.1 矩阵的 LmRm 分解 41
5 矩阵的几种分解及应用 41
5.2 矩阵的 QmRm 分解 43
5.3 旋转和反射的关系 44
5.4 广义特征值问题 45
5.5 复数域上矩阵的分解问题 46
酉矩阵的定义和性质 46
复矩阵的分解定理 46
正规矩阵及其分解定理 48
6 矩阵特征值的性质及估计 49
6.1 特征值和 Rayleigh 商 49
6.2 矩阵的谱分解定理 52
6.3 特征值的估计 53
特征值估计的几个基本定理 53
圆盘定理 54
谱半径的估计 56
三对角矩阵特征值的估计 60
7.1 内积空间中子空间的正交关系 62
7 子空间的正交关系和几种特殊算子 62
7.2 内积空间中的几种算子 63
7.3 不变子空间 66
8 矩阵的几种范数及其应用 67
8.1 从属于向量范数的矩阵范数 67
8.2 矩阵范数的应用 70
线性方程组的摄动 70
近似逆矩阵的误差 72
第四章 矩阵分析及其应用 77
1 矩阵序列的收敛性定理及矩阵级数 77
2 矩阵幂级数及其应用 81
3 函数矩阵分析 86
3.1 函数矩阵 86
3.2 函数矩阵对实变量的导数与积分 88
3.3 函数向量的线性相关性 89
3.4 函数矩阵对矩阵的导数 92
3.5 矩阵在极值问题中的应用 95
3.6 函数矩阵级数 96
4 矩阵函数及其应用 98
4.1 矩阵函数的解析定义及性质 98
4.2 方阵函数的多项式表示 101
4.3 常用方阵函数的一些性质 106
4.4 方阵函数在微分方程组中的应用 107
第五章 矩阵的广义逆及其应用 111
1 线性最小二乘方问题 111
1.1 引言 111
1.2 线性最小二乘方问题解的存在性 111
1.3 L.S-Am．b 问题的一种解法 113
2 矩阵的奇异值分解 115
2.1 奇异值分解的定义 115
2.2 矩阵的奇异值的一些简单性质 119
2.3 奇异值分解与最小二乘方问题 121
3 广义逆矩阵的基本概念 122
4.1 A-m 的概念及构造 123
4 广义逆矩阵 A-m 及其应用 123
4.2 A-m 的性质及应用 125
4.3 分块矩阵的 A-m 的求法 127
5 广义逆矩阵 A+m 及其应用 130
5.1 A+m 的存在性和唯一性 130
5.2 广义逆 A+m 的应用 132
5.3 A+m 的几个性质 135
6 其它几种类型的广义逆 136
6.1 Am(1)的通式 136
6.2 Am(1，2)的通式 138
6.3 Am(1，3)的通式 140
6.4 Am(1，4)的通式 140
7 广义逆的应用 141
7.1 相容方程组的最小范数解 141
7.2 不相容方程组的最小二乘方解 143
1 逆特征值问题研究现状 147
第六章 矩阵的逆特征值问题 147
2 矩阵逆特征值问题的可解性 148
2.1 主要结果及定理 148
2.2 定理的证明 150
2.3 例题分析 155
3 矩阵逆特征值问题的几乎处处不可解性 156
4 矩阵逆特征值问题解的稳定性 162
4.1 问题6.4.1解的稳定性 163
4.2 问题6.4.2解的稳定性 165
5 Jacobi 矩阵的逆特征值问题 169
5.1 引言 169
5.2 问题6.5.5的解 170
5.3 问题6.5.6的解 173
5.4 问题6.5.7的解 176
6 实对称带状矩阵的逆特征值问题 178
6.1 引言 178
6.2 问题6.6.2有解的条件及解的表达式 179
6.3 问题6.6.3的解及其表达式 180
6.4 数值方法和例题分析 181
6.5 问题6.6.4的解及解的求法 182
7 实对称矩阵的逆特征值问题 184
7.1 引言 184
7.2 问题6.7.1的解法 185
7.3 问题6.7.2的解法 189
7.4 问题6.7.3解存在的条件及解的表达式 192
7.5 问题6.7.4解的表示及其求法 195
8 谱约束下的矩阵最佳逼近问题 197
8.1 引言 197
8.2 问题6.8.1的解及求解方法 197
8.3 问题6.8.2的解 201
8.4 问题6.8.2的求法及算例 205
9 非线性约束下的矩阵逼近问题 208
9.1 问题的提法 208
9.2 问题6.9.2解存在的条件 208
9.3 问题6.9.2解的表示 211
9.4 问题6.9.2解的解法及几点说明 212
第七章 矩阵理论的几个应用问题 215
1 弹性结构振动理论中的特征值反问题 215
1.1 引言 215
1.2 弹簧——质点系统 215
1.3 杆的具有集中质量矩阵的有限单元模型 216
2 能量守恒系统的若干逆问题 216
2.1 引言 216
2.2 主要结果及证明 216
3 控制系统中的逆问题 221
4 矩阵理论在线性振动中的应用 223
4.1 n 维无阻尼线性自由振动 223
4.2 有阻尼的线性振动 224
5 矩阵理论在线性系统的稳定性中的应用 225
附录A 投影定理及其证明 229
附录B 一些概念的定义及有关结果 232
参考文献 239
附录C 符号说明 241