第一章 引论 1
1 数值分析的研究对象 1
2 数值计算的误差 2
2.1 误差的来源与分类 2
2.2 误差与有效数字 3
2.3 求函数值和算术运算的误差估计 5
2.4 计算机的浮点数表示和舍入误差 6
3 病态问题、数值稳定性与避免误差危害 8
3.1 病态问题与条件数 8
3.2 数值方法的稳定性 9
3.3 避免有效数字的损失 11
3.4 减少运算次数 12
4 矩阵、向量和连续函数的范数 13
4.1 范数的一般概念 13
4.2 向量的范数 18
4.3 矩阵的范数 19
评注 26
习题 26
第二章 插值法 29
1 Lagrange插值 29
1.1 Lagrange插值多项式 29
1.2 插值余项及估计 32
1.3 线性插值和抛物插值 34
2 均差与Newton插值公式 36
2.1 Newton插值公式 36
2.2 均差及其性质 38
2.3 均差型余项 41
3 插值余项的Peano估计 43
3.1 近似公式的误差 43
3.2 一般Peano余项公式 45
3.3 插值余项公式 47
4.1 差分及其性质 51
4 差分与等距节点插值公式 51
4.2 等距节点插值公式 53
5 Hermite插值 56
5.1 Hermite插值多项式 56
5.2 重节点均差 59
5.3 Newton形式的Hermite插值多项式 62
5.4 一般密切插值(Hermite插值) 65
6.1 插值法的收敛性问题 66
6 分段低次插值 66
6.2 分段线性插值 69
6.3 分段三次Hermite插值 72
7 三次样条插值的计算方法 75
7.1 三次样条插值函数 75
7.2 M关系式 76
7.3 m关系式 78
7.4 数值例子 80
8.1 基本性质 83
8 三次样条插值函数的性质与误差估计 83
8.2 误差估计 84
9 B-样条函数 88
9.1 B-样条函数概念 88
9.2 B-样条函数基本性质 91
9.3 低次正规化B-样条函数 96
9.4 样条函数插值 98
10 二元插值 101
10.1 Lagrange插值 101
10.2 分片双线性插值 104
10.3 分片双三次Hermite插值 105
评注 105
习题 106
第三章 函数逼近 110
1 正交多项式 110
1.1 正交多项式的概念及性质 110
1.2 Legendre多项式 114
1.3 Chebyshev多项式 116
1.4 Laguerre多项式 118
1.5 Hermite多项式 118
2 函数的最佳平方逼近 119
2.1 最佳平方逼近概念及计算 119
2.2 用正交函数作最佳平方逼近 122
2.3 用Legendre多项式作最佳平方逼近 124
3 最小二乘法 126
3.1 最小二乘法及其计算 126
3.2 用正交函数作最小二乘 131
4 周期函数的最佳平方逼近 132
4.1 周期函数的最佳平方逼近 133
4.2 离散情形 136
4.3 f为周期复值函数的情形 138
5 快速Fourier变换 138
5.1 快速Fourier变换 139
5.2 以2为底的FFT 141
5.3 Sande-Tukey算法 146
6 函数的最佳一致逼近 148
6.1 最佳一致逼近多项式的存在性 148
6.2 Chebyshev定理 150
6.3 零偏差最小问题 155
6.4 最佳一致逼近多项式 156
7 近似最佳一致逼近多项式 157
7.1 用Chebyshev多项式的展开来逼近函数 157
7.2 Chebyshev多项式零点插值 159
8 Chebyshev节约化 161
评注 165
习题 166
第四章 数值积分和数值微分 169
1 Newton-Cotes求积公式 169
1.1 插值型积分法 169
1.2 Newton-Cotes 求积公式 170
1.3 Newton-Cotes公式的误差分析 172
1.4 计算稳定性问题 175
1.5 开型求积公式 176
2 复合求积公式 178
2.1 复合梯形求积公式 179
2.2 复合Simpson 求积公式 181
3 Peano 的误差表示 183
3.1 梯形公式的误差 183
3.2 Simpson公式的误差 185
3.3 利用导数值的求积公式 188
4 Gauss求积公式 191
4.1 一般理论 191
4.2 Gauss 求积方法的稳定性与收敛性 194
4.3 Gauss-Legendre 求积公式 197
4.4 Gauss-Chebyshev 求积公式 199
4.5 修改Gauss 求积公式 201
5 Romberg 求积公式 203
5.1 Euler-Maclaurin 求和公式 204
5.2 Richardson外推 204
5.3 Romberg求积方法 207
6 奇异积分与振荡函数的积分 210
6.1 反常积分的数值方法 210
6.2 无穷区间上的积分 214
6.3 无穷区间上的Gauss 求积公式 216
6.4 振荡函数的积分 217
7 二维近似求积 219
7.1 矩形域上的插值型求积公式 220
7.2 复合求积公式 222
7.3 Gauss 型求积公式 225
8 数值微分 226
8.1 插值型求导公式 226
8.2 数值微分问题化为数值积分问题 228
8.3 数值微分的外推算法 231
评注 232
习题 233
第五章 解线性代数方程组的直接方法 236
1 Gauss 消去法 236
1.1 Gauss消去法的计算过程 237
1.2 消去法的进一步讨论，矩阵的LU分解 240
2 主元素消去法 245
2.1 有换行步骤的消去法 245
2.2 列主元素消去法与完全主元素消去法 246
2.3 包含换行步骤的三角分解定理 249
3 直接三角分解方法 250
3.1 Doolittle分解方法 250
3.1 列主元直接三角分解方法 253
3.3 三对角方程组的追赶法 254
3.4 对称正定矩阵的Cholesky分解，平方根法 258
4.1 矩阵的奇异值及其性质与应用 261
4 矩阵的奇异值和条件数，直接方法的误差分析 261
4.2 矩阵的条件数，扰动方程组的误差界 265
4.3 主元素消去浮点舍入的误差分析 271
5 解的迭代改进 272
5.1 失代改进的计算方法 273
5.2 收敛性分析 274
6 稀疏矩阵技术介绍 276
6.1 稀疏矩阵 276
6.2 稀疏矩阵的存贮 278
6.3 稀疏方程组的消去法简介 281
6.4 稀疏对称正定矩阵的Cholesky分解 285
评注 289
习题 290
第六章 解线性代数方程组的迭代方法 294
1 迭代法的基本概念 294
1.1 向量序列和矩阵序列的极限 294
1.2 迭代公式的构造 297
1.3 迭代法的收敛性 298
1.4 迭代法的收敛速度 301
2 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法 302
2.1 Jacobi迭代法 302
2.2 Gauss-Seidel迭代法 304
2.3 J法和GS法的收敛性 305
3 超松弛(SOR)迭代法 310
3.1 超松弛迭代法 310
3.2 SOR迭代法的收敛性 311
3.3 最优松弛因子，迭代法的比较 314
3.4 块松弛迭代法 317
4 共轭梯度法 319
4.1 与方程组等价的变分问题 319
4.2 最速下降法 320
4.3 共轭梯度法 321
4.4 预处理方法简介 327
习题 329
评注 329
第七章 非线性方程和方程组的数值解法 333
1 单个方程的迭代法 334
1.1 不动点和不动点迭代法 334
1.2 局部收敛性和收敛阶 338
2 迭代加速收敛的方法 340
2.1 Aitken 的△2方法 340
2.2 Steffensen 迭代法 341
3 Newton 迭代法 344
3.1 Newton 迭代法的计算公式 344
3.2 重根情形 346
4 割线法与Muller 方法 348
4.1 割线法 348
4.2 Muller方法 351
5 非线性方程组的不动点迭代法 351
5.1 向量值函数的导数及其性质 352
5.2 不动点迭代法 354
6 非线性方程组的Newton法和拟Newton法 358
6.1 Newton法 358
6.2 拟Newton法 361
评注 365
习题 366
第八章 代数特征值问题计算方法 369
1 特征值问题的性质和估计 370
1.1 特征值问题的性质 370
1.2 特征值的估计和扰动 371
2 正交变换及矩阵分解 376
2.1 Householder变换 376
2.2 Givens变换 379
2.3 矩阵的QR分解 380
2.4 矩阵的Schur 分解 384
3.1 幂迭代法 386
3 幂迭代法和逆幂迭代法 386
3.2 加速技术(Aitken 方法) 389
3.3 收缩方法 390
3.4 逆幂迭代法 391
4 正交相似变换化矩阵为Hessenberg 形式 393
4.1 化矩阵为Hessenberg 形式 393
4.2 Hessenberg 形式的不唯一性 396
5.1 QR迭代的基本算法及性质 398
5 QR方法 398
5.2 Hessenberg矩阵的QR方法 403
5.3 带有原点位移的QR方法 404
5.4 双重步QR方法 407
6 对称矩阵特征值问题的计算 412
6.1 对称矩阵特征值的性质 412
6.2 Rayleigh 商加速和Rayleigh 商迭代 412
6.3 Jacobi 方法 413
评注 417
习题 418
第九章 常微分方程初值问题的数值解法 422
1 基本概念、Euler 方法和有关的方法 422
1.1 Euler 方法、后退Euler 方法和梯形方法 422
1.2 单步法的截断误差和阶 426
2 Runge-Kutta 方法 428
2.1 用Taylor 展开构造高阶方法 428
2.2 二、三、四阶的显式Runge-Kutta 方法 430
2.3 高阶和隐式的Runge-Kutta 方法 434
2.4 误差控制与变步长的Runge-Kutta-Fehlberg方法 435
3 单步法的收敛性、相容性与绝对稳定性 438
3.1 收敛性 438
3.2 相容性 439
3.3 绝对稳定性 440
4 线性多步法 445
4.1 一般形式的线性多步法 445
4.2 基于数值积分的方法 449
4.3 Adams公式 451
4.4 Nystr？m方法 454
4.5 待定系数法 455
4.6 预估--校正算法 456
5 线性差分方程 459
5.1 线性差分方程的基本性质 459
5.2 齐次差分方程的解 461
6 线性多步法的收敛性与稳定性 462
6.1 相容性和收敛性 462
6.2 稳定性 469
6.3 绝对稳定性 471
7 一阶方程组与刚性方程组 475
7.1 一阶方程组 475
7.2 刚性方程组 476
评注 479
习题 480
参考书目 483