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第一章 引论 1

1 数值分析的研究对象 1

2 数值计算的误差 2

2.1 误差的来源与分类 2

2.2 误差与有效数字 3

2.3 求函数值和算术运算的误差估计 5

2.4 计算机的浮点数表示和舍入误差 6

3 病态问题、数值稳定性与避免误差危害 8

3.1 病态问题与条件数 8

3.2 数值方法的稳定性 9

3.3 避免有效数字的损失 11

3.4 减少运算次数 12

4 矩阵、向量和连续函数的范数 13

4.1 范数的一般概念 13

4.2 向量的范数 18

4.3 矩阵的范数 19

评注 26

习题 26

第二章 插值法 29

1 Lagrange插值 29

1.1 Lagrange插值多项式 29

1.2 插值余项及估计 32

1.3 线性插值和抛物插值 34

2 均差与Newton插值公式 36

2.1 Newton插值公式 36

2.2 均差及其性质 38

2.3 均差型余项 41

3 插值余项的Peano估计 43

3.1 近似公式的误差 43

3.2 一般Peano余项公式 45

3.3 插值余项公式 47

4.1 差分及其性质 51

4 差分与等距节点插值公式 51

4.2 等距节点插值公式 53

5 Hermite插值 56

5.1 Hermite插值多项式 56

5.2 重节点均差 59

5.3 Newton形式的Hermite插值多项式 62

5.4 一般密切插值(Hermite插值) 65

6.1 插值法的收敛性问题 66

6 分段低次插值 66

6.2 分段线性插值 69

6.3 分段三次Hermite插值 72

7 三次样条插值的计算方法 75

7.1 三次样条插值函数 75

7.2 M关系式 76

7.3 m关系式 78

7.4 数值例子 80

8.1 基本性质 83

8 三次样条插值函数的性质与误差估计 83

8.2 误差估计 84

9 B-样条函数 88

9.1 B-样条函数概念 88

9.2 B-样条函数基本性质 91

9.3 低次正规化B-样条函数 96

9.4 样条函数插值 98

10 二元插值 101

10.1 Lagrange插值 101

10.2 分片双线性插值 104

10.3 分片双三次Hermite插值 105

评注 105

习题 106

第三章 函数逼近 110

1 正交多项式 110

1.1 正交多项式的概念及性质 110

1.2 Legendre多项式 114

1.3 Chebyshev多项式 116

1.4 Laguerre多项式 118

1.5 Hermite多项式 118

2 函数的最佳平方逼近 119

2.1 最佳平方逼近概念及计算 119

2.2 用正交函数作最佳平方逼近 122

2.3 用Legendre多项式作最佳平方逼近 124

3 最小二乘法 126

3.1 最小二乘法及其计算 126

3.2 用正交函数作最小二乘 131

4 周期函数的最佳平方逼近 132

4.1 周期函数的最佳平方逼近 133

4.2 离散情形 136

4.3 f为周期复值函数的情形 138

5 快速Fourier变换 138

5.1 快速Fourier变换 139

5.2 以2为底的FFT 141

5.3 Sande-Tukey算法 146

6 函数的最佳一致逼近 148

6.1 最佳一致逼近多项式的存在性 148

6.2 Chebyshev定理 150

6.3 零偏差最小问题 155

6.4 最佳一致逼近多项式 156

7 近似最佳一致逼近多项式 157

7.1 用Chebyshev多项式的展开来逼近函数 157

7.2 Chebyshev多项式零点插值 159

8 Chebyshev节约化 161

评注 165

习题 166

第四章 数值积分和数值微分 169

1 Newton-Cotes求积公式 169

1.1 插值型积分法 169

1.2 Newton-Cotes 求积公式 170

1.3 Newton-Cotes公式的误差分析 172

1.4 计算稳定性问题 175

1.5 开型求积公式 176

2 复合求积公式 178

2.1 复合梯形求积公式 179

2.2 复合Simpson 求积公式 181

3 Peano 的误差表示 183

3.1 梯形公式的误差 183

3.2 Simpson公式的误差 185

3.3 利用导数值的求积公式 188

4 Gauss求积公式 191

4.1 一般理论 191

4.2 Gauss 求积方法的稳定性与收敛性 194

4.3 Gauss-Legendre 求积公式 197

4.4 Gauss-Chebyshev 求积公式 199

4.5 修改Gauss 求积公式 201

5 Romberg 求积公式 203

5.1 Euler-Maclaurin 求和公式 204

5.2 Richardson外推 204

5.3 Romberg求积方法 207

6 奇异积分与振荡函数的积分 210

6.1 反常积分的数值方法 210

6.2 无穷区间上的积分 214

6.3 无穷区间上的Gauss 求积公式 216

6.4 振荡函数的积分 217

7 二维近似求积 219

7.1 矩形域上的插值型求积公式 220

7.2 复合求积公式 222

7.3 Gauss 型求积公式 225

8 数值微分 226

8.1 插值型求导公式 226

8.2 数值微分问题化为数值积分问题 228

8.3 数值微分的外推算法 231

评注 232

习题 233

第五章 解线性代数方程组的直接方法 236

1 Gauss 消去法 236

1.1 Gauss消去法的计算过程 237

1.2 消去法的进一步讨论，矩阵的LU分解 240

2 主元素消去法 245

2.1 有换行步骤的消去法 245

2.2 列主元素消去法与完全主元素消去法 246

2.3 包含换行步骤的三角分解定理 249

3 直接三角分解方法 250

3.1 Doolittle分解方法 250

3.1 列主元直接三角分解方法 253

3.3 三对角方程组的追赶法 254

3.4 对称正定矩阵的Cholesky分解，平方根法 258

4.1 矩阵的奇异值及其性质与应用 261

4 矩阵的奇异值和条件数，直接方法的误差分析 261

4.2 矩阵的条件数，扰动方程组的误差界 265

4.3 主元素消去浮点舍入的误差分析 271

5 解的迭代改进 272

5.1 失代改进的计算方法 273

5.2 收敛性分析 274

6 稀疏矩阵技术介绍 276

6.1 稀疏矩阵 276

6.2 稀疏矩阵的存贮 278

6.3 稀疏方程组的消去法简介 281

6.4 稀疏对称正定矩阵的Cholesky分解 285

评注 289

习题 290

第六章 解线性代数方程组的迭代方法 294

1 迭代法的基本概念 294

1.1 向量序列和矩阵序列的极限 294

1.2 迭代公式的构造 297

1.3 迭代法的收敛性 298

1.4 迭代法的收敛速度 301

2 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法 302

2.1 Jacobi迭代法 302

2.2 Gauss-Seidel迭代法 304

2.3 J法和GS法的收敛性 305

3 超松弛(SOR)迭代法 310

3.1 超松弛迭代法 310

3.2 SOR迭代法的收敛性 311

3.3 最优松弛因子，迭代法的比较 314

3.4 块松弛迭代法 317

4 共轭梯度法 319

4.1 与方程组等价的变分问题 319

4.2 最速下降法 320

4.3 共轭梯度法 321

4.4 预处理方法简介 327

习题 329

评注 329

第七章 非线性方程和方程组的数值解法 333

1 单个方程的迭代法 334

1.1 不动点和不动点迭代法 334

1.2 局部收敛性和收敛阶 338

2 迭代加速收敛的方法 340

2.1 Aitken 的△2方法 340

2.2 Steffensen 迭代法 341

3 Newton 迭代法 344

3.1 Newton 迭代法的计算公式 344

3.2 重根情形 346

4 割线法与Muller 方法 348

4.1 割线法 348

4.2 Muller方法 351

5 非线性方程组的不动点迭代法 351

5.1 向量值函数的导数及其性质 352

5.2 不动点迭代法 354

6 非线性方程组的Newton法和拟Newton法 358

6.1 Newton法 358

6.2 拟Newton法 361

评注 365

习题 366

第八章 代数特征值问题计算方法 369

1 特征值问题的性质和估计 370

1.1 特征值问题的性质 370

1.2 特征值的估计和扰动 371

2 正交变换及矩阵分解 376

2.1 Householder变换 376

2.2 Givens变换 379

2.3 矩阵的QR分解 380

2.4 矩阵的Schur 分解 384

3.1 幂迭代法 386

3 幂迭代法和逆幂迭代法 386

3.2 加速技术(Aitken 方法) 389

3.3 收缩方法 390

3.4 逆幂迭代法 391

4 正交相似变换化矩阵为Hessenberg 形式 393

4.1 化矩阵为Hessenberg 形式 393

4.2 Hessenberg 形式的不唯一性 396

5.1 QR迭代的基本算法及性质 398

5 QR方法 398

5.2 Hessenberg矩阵的QR方法 403

5.3 带有原点位移的QR方法 404

5.4 双重步QR方法 407

6 对称矩阵特征值问题的计算 412

6.1 对称矩阵特征值的性质 412

6.2 Rayleigh 商加速和Rayleigh 商迭代 412

6.3 Jacobi 方法 413

评注 417

习题 418

第九章 常微分方程初值问题的数值解法 422

1 基本概念、Euler 方法和有关的方法 422

1.1 Euler 方法、后退Euler 方法和梯形方法 422

1.2 单步法的截断误差和阶 426

2 Runge-Kutta 方法 428

2.1 用Taylor 展开构造高阶方法 428

2.2 二、三、四阶的显式Runge-Kutta 方法 430

2.3 高阶和隐式的Runge-Kutta 方法 434

2.4 误差控制与变步长的Runge-Kutta-Fehlberg方法 435

3 单步法的收敛性、相容性与绝对稳定性 438

3.1 收敛性 438

3.2 相容性 439

3.3 绝对稳定性 440

4 线性多步法 445

4.1 一般形式的线性多步法 445

4.2 基于数值积分的方法 449

4.3 Adams公式 451

4.4 Nystr？m方法 454

4.5 待定系数法 455

4.6 预估--校正算法 456

5 线性差分方程 459

5.1 线性差分方程的基本性质 459

5.2 齐次差分方程的解 461

6 线性多步法的收敛性与稳定性 462

6.1 相容性和收敛性 462

6.2 稳定性 469

6.3 绝对稳定性 471

7 一阶方程组与刚性方程组 475

7.1 一阶方程组 475

7.2 刚性方程组 476

评注 479

习题 480

参考书目 483