第一章 数学题的来源 1
第一节 来自实践的数学题 3
一、《九章算术》中的一题 3
二、《周髀算经》中的一题 5
三、古代计算兀值问题 8
四、《孙子算经》中的一题 12
五、正五边形问题 16
六、牛吃草问题 22
七、哥尼斯堡七桥问题 27
八、神奇的菲波纳斯数列 30
第二节 来自猜想的数学题 36
一、哥德巴赫猜想 36
二、费尔马猜想 41
三、四色猜想 44
四、由一道竞赛题而引起的猜想 49
五、由一道几何题而引起的猜想 50
第二章 数学题的证明 53
第一节 数学推理与数学证明 54
一、数学推理 56
二、数学证明 60
第二节 数学命题与命题演算 68
一、否定命题 69
二、选言命题 69
三、联言命题 70
四、假言命题 70
五、等价命题 71
六、关于“四命题” 72
第三章 数学题的题型 75
一、选择题的应用和推广 78
第一节 选择题 78
二、选择题的信度 79
三、选择题的评分标准 82
第二节 填空题 82
第三节 改错题 85
第四节 证明题 91
第五节 计算题 96
第六节 逻辑题 102
第四章 数学题的设计 114
第一节 由合情推理设计数学题 115
一、利用观察、对比、联想设计数学题 116
二、利用计算、实验、归纳设计数学题 123
第二节 由论证推理设计数学题 129
一、利用新建立的数学语言设计数学题 129
二、利用现有成题的因果变形设计数学题 133
第三节 选择题的设计 163
一、选择题的结构 163
二、选择题的设计 164
第五章 数学题的缺陷 168
第一节 潜含逻辑矛盾 170
第二节 题意不确切 172
第三节 条件不充分 175
第四节 条件不独立 180
第五节 条件过剩 181
一、条件过剩与条件不独立的关系 183
二、如何鉴别数学题中所含过剩条件 184
第六章 搜索解题思路的原则和方法 188
第一节 搜索解题思路首先要进行审题 192
第二节 搜索解题思路要灵活机动 195
第三节 搜索解题思路要善于猜想 199
第四节 搜索解题思路要把顺推和逆推相辅并行 203
第五节 搜索解题思路要抓住数学题的具体特点 207
第六节 搜索解题思路要借助于已经解决的数学问题 210
第七节 搜索解题思路要注意应用基本概念和基础理论 212
第八节 搜索解题思路要注意各科知识的综合运用 214
第九节 推理序列分类法 215
第十节 估值函数与爬山法 217
第十一节 中途点法 223
习题一 227
第七章 逻辑模式解法 229
第一节 顺推法 231
一、如何探求题中潜含的已知信息 232
三、如何探求题中潜含的终点信息 233
二、如何探求题中潜含的允许运算或推理 233
习题二 236
第二节 逆推法 236
一、逆推法适用的先决条件 236
二、同一法 238
三、关于逆证法的定义 241
四、逆向思维法 242
习题三 243
第三节 类推法 244
二、类似关系 245
一、等价关系 245
三、伸缩关系 246
习题四 250
第四节 反证法 250
一、简单归谬法 252
习题五 260
二、穷举归谬法 260
习题六 265
三、分类归谬法 265
习题七 267
四、抽屉法 268
习题八 278
第五节 穷举归纳法 278
习题九 286
第六节 数学归纳法 287
一、数学归纳法的要素 289
二、数学归纳法的变形与发展 291
三、数学归纳法的应用 294
四、递推法 296
习题十 300
第七节 试验法 301
习题十一 309
第八章 学科模式解法 310
第一节 代数法 312
一、代数法的应用 313
习题十二 318
二、坐标法的应用 318
习题十三 323
三、复数法的应用 323
习题十四 330
一、几何法的应用 331
第二节 几何法 331
习题十五 334
二、几何直观法 335
习题十六 340
第三节 三角法 341
习题十七 345
第四节 向量法 345
习题十八 351
笫五节 数学分析方法 352
一、极限法 352
习题十九 356
二、导数法 357
习题二十 362
三、积分法 363
习题二十一 367
第六节 概率论方法 368
一、古典概型的概率计算 368
习题二十二 377
二、古典概率的初等应用 378
第七节 组合论方法 382
习题二十三 382
一、基本计数法 383
习题二十四 387
二、逐步淘汰法 388
习题二十五 393
第九章 构造模式解法 394
第一节 构造图形法 395
一、添线法 395
习题二十六 399
二、几何变换法 400
习题二十七 408
一、换元法 409
第二节 构造方程法 409
习题二十八 414
二、消元法 415
习题二十九 420
三、待定系数法 420
习题三十 425
第三节 构造函数法 425
习题三十一 428
第一节 间接解法(亦称选择法) 429
第十章 选择题解法 429
第二节 直接解法 432
一、特例法(亦称特征筛选法) 433
二、顺推法 438
三、几何直观法(亦称图象法) 441
习题三十二 443
附录 446
一、习题答案与提示 446
二、图序编号说明 466
三、例题分布表 466