前言 1
第一章 插值方法 1
1 Lagrange 插值公式 2
1.1 公式的构造 2
1.2 插值多项式的余项 7
2 逐步线性插值 10
3 Hermite 插值 13
3.1 问题的提出 13
3.2 Hermite 插值函数的构造 13
3.3 Hermite 插值公式的余项 15
4.2 样条函数的基本概念 19
4.1 问题的提出 19
4 样条函数插值 19
4.3 三次样条函数插值 20
5 二元函数分片插值 25
5.1 问题的提出 25
5.2 二元插值函数的构造方法 26
5.3 矩形域上分片插值问题 26
5.4 三角形区域的插值 34
第二章 最佳逼近方法 39
1 Weierstrass 定理 40
2 最佳逼近的概念 41
3 Remez 方法 49
4.1 正交函数系的概念 52
4 正交多项式 52
4.2 正交多项式的性质 58
5 Chebyshev 多项式及其应用 62
5.1 Chebyshev 多项式的引出 62
5.2 Chebyshev 多项式的应用 65
6 最佳平方逼近 71
6.1 最小二乘拟合多项式 71
6.2 一般最小二乘逼近问题的提法 75
6.3 正规方程组 78
7 用正交多项式作最佳平方逼近 84
7.1 用 Legendre 多项式作最佳平方逼近 85
7.2 函数按 Chebyshev 多项式展开 86
第三章 Fourier 方法 89
1 Fourier 分析 89
2 磨光函数在 Fourier 分析中的应用 91
2.1 问题的提出 91
2.2 磨光函数及其应用 92
3 有限 Fourier 展式 99
4 快速 Fourier 变换(FFT) 103
第四章 数值积分 108
1 引言 108
2 Newton-Cotes 型求积公式 109
2.1 公式的一般形式 109
2.2 常用的 Newton-Cotes 公式 112
3.1 复化梯形公式 117
3 复化求积公式 117
3.2 复化 Simpson 公式 119
4 区间逐次分半法 121
5 Romberg 方法 123
6 Gauss 型求积公式 127
6.1 问题的提出 127
6.2 Gauss 型求积公式的构造 129
6.3 常用的 Gauss 型求积公式 133
6.4 Gauss 型求积公式的余项 136
7 若干个重要积分的处理 140
1 引言 148
第五章 线性代数方程组的数值解法 148
2 Gauss 消去法 149
2.1 Gauss 消去法的基本思想 149
2.2 主元消去法 153
2.3 Gauss 消去法的矩阵形式 157
3 矩阵的三角分解 159
4 正定矩阵的 Cholesky 分解法 162
5 追赶法 167
6 向量和矩阵范数 169
6.1 向量范数 169
6.2 矩阵的范数 172
7.1 Jacobi 迭代格式 177
7 Jacobi 迭代法 177
7.2 Jacobi 迭代法的收敛性 179
8 Gauss-Seidel 迭代法 182
8.1 Gauss-Scidel 迭代格式 182
8.2 Gauss-Seidel 迭代法的收敛性 184
9 逐次超松弛(SOR)迭代法 188
9.1 SOR 迭代格式 188
9.2 SOR 迭代法的收敛性 190
第六章 常微分方程初值问题的数值解法 193
1 引言 193
2 改进的 Euler 方法 196
3 Runge-Kutta 方法 201
4 线性多步法 206
4.1 Adams 外插法 207
4.2 Adams 内插法 209
第七章 变分原理 213
1 泛函分析中的一些概念 213
1.1 Hilbert 空间 213
1.2 算子的概念 218
1.3 Sobolev 空间 220
2 数学物理中的变分问题 225
3 二次泛函的极值问题 229
4 一维的变分问题 234
5.1 第一类边值问题 243
5 二维变分问题 243
5.2 其它边值问题 249
6 变分问题的近似计算 250
6.1 Ritz 方法 251
6.2 Galerkin 方法 253
第八章 偏微分方程边值问题的有限差分法 259
1 有限差分法的基本思想 259
1.1 差商的概念 259
1.2 差分法的基本思想与解题步骤 262
1.3 差分格式的相容性、收敛性和稳定性 264
2 直接差分方法 267
3 基于守恒原理的差分格式 271
4 极坐标形式的差分格式 273
5 边界条件的处理 277
5.1 第一类边界条件 277
5.2 第三类边界条件 279
6 基于变分原理的差分格式 283
第九章 偏微分方程初值问题的有限差分法 291
1 典型问题 291
2 差分格式及其收敛性与稳定性 293
3 一维对流弥散问题的差分格式 299
3.1 对流方程的差分格式 299
3.2 弥散方程的差分格式 305
3.3 对流弥散方程的差分格式 314
4 二维对流弥散问题的差分格式 316
4.1 一维格式的直接推广 318
4.2 交替方向隐式格式 319
4.3 守恒型差分格式 323
4.4 三角形网格有限差分法 328
第十章 有限元方法 334
1 有限元方法解题分析 334
1.1 从 Ritz 法出发 335
1.2 从 Galerkin 法出发 344
2.1 写出相应的变分问题 349
2.2 区域剖分 349
2 解二维问题的三角形元 349
2.3 确定单元基函数 350
2.4 形成有限元方程 357
2.5 边界条件的处理 362
3 解二维问题的高次元 367
3.1 三角形元的高次插值 368
3.2 解二维问题的矩形元 371
3.3 二维等参数单元 375
4 非稳定扩散问题的有限元解法 383
5 应用举例 390
第十一章 边界积分方程法 401
1 引言 401
2.1 广义 Green 公式 402
2 广义 Green 公式·基本解 402
2.2 基本解 404
3 化椭圆型方程为边界积分方程 409
3.1 化 Laplace 方程为边界积分方程 409
3.2 化 Helmholtz 型方程为边界积分方程 417
4 化抛物型方程为边界积分方程 420
5 边界有限元法 424
5.1 椭圆型方程边值问题的边界有限元法 424
5.2 抛物型方程初边值问题的边界有限元法 433
6 抛物方程边界元技术的双方程法 439
6.1 椭圆型方程的新型边界积分方程 440
6.2 双方程方法 449
7 应用举例 454
附篇一 最优化方法 458
1 最优化问题及其数学模型 458
2 线性规划解法 464
2.1 线性规划的基本概念与基本性质 465
2.2 单纯形方法的形成 467
2.3 单纯形方法计算步骤 470
2.4 使用表格形式的单纯形方法 472
2.5 求初始基可行解的方法 477
3 无约束问题的直接搜索法 483
3.1 一维搜索法 483
3.2 单纯形方法 488
4 使用导数的搜索法 492
4.1 最速下降法(梯度法) 493
4.2 牛顿法 494
4.3 最小二乘法 496
5 罚函数法 501
5.1 外点法 502
5.2 内点法 505
附篇二 灰色系统方法浅述 509
1 引言 509
2 关联分析 511
2.1 关联分析的含义 511
2.2 关联系数 513
2.3 关联度及其性质 515
2.4 优势分析 518
3 灰色系统建模与预测 522
3.1 数据的预处理 522
3.2 灰色系统建模原理 524
3.3 残差修正模型 528
3.4 灾变预测 529
3.5 模型检验法 532
4 应用举例 533
4.1 关联分析实例 533
4.2 灰色系统预测实例 537
参考文献 541