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前言 1

第一章 插值方法 1

1 Lagrange 插值公式 2

1.1 公式的构造 2

1.2 插值多项式的余项 7

2 逐步线性插值 10

3 Hermite 插值 13

3.1 问题的提出 13

3.2 Hermite 插值函数的构造 13

3.3 Hermite 插值公式的余项 15

4.2 样条函数的基本概念 19

4.1 问题的提出 19

4 样条函数插值 19

4.3 三次样条函数插值 20

5 二元函数分片插值 25

5.1 问题的提出 25

5.2 二元插值函数的构造方法 26

5.3 矩形域上分片插值问题 26

5.4 三角形区域的插值 34

第二章 最佳逼近方法 39

1 Weierstrass 定理 40

2 最佳逼近的概念 41

3 Remez 方法 49

4.1 正交函数系的概念 52

4 正交多项式 52

4.2 正交多项式的性质 58

5 Chebyshev 多项式及其应用 62

5.1 Chebyshev 多项式的引出 62

5.2 Chebyshev 多项式的应用 65

6 最佳平方逼近 71

6.1 最小二乘拟合多项式 71

6.2 一般最小二乘逼近问题的提法 75

6.3 正规方程组 78

7 用正交多项式作最佳平方逼近 84

7.1 用 Legendre 多项式作最佳平方逼近 85

7.2 函数按 Chebyshev 多项式展开 86

第三章 Fourier 方法 89

1 Fourier 分析 89

2 磨光函数在 Fourier 分析中的应用 91

2.1 问题的提出 91

2.2 磨光函数及其应用 92

3 有限 Fourier 展式 99

4 快速 Fourier 变换(FFT) 103

第四章 数值积分 108

1 引言 108

2 Newton-Cotes 型求积公式 109

2.1 公式的一般形式 109

2.2 常用的 Newton-Cotes 公式 112

3.1 复化梯形公式 117

3 复化求积公式 117

3.2 复化 Simpson 公式 119

4 区间逐次分半法 121

5 Romberg 方法 123

6 Gauss 型求积公式 127

6.1 问题的提出 127

6.2 Gauss 型求积公式的构造 129

6.3 常用的 Gauss 型求积公式 133

6.4 Gauss 型求积公式的余项 136

7 若干个重要积分的处理 140

1 引言 148

第五章 线性代数方程组的数值解法 148

2 Gauss 消去法 149

2.1 Gauss 消去法的基本思想 149

2.2 主元消去法 153

2.3 Gauss 消去法的矩阵形式 157

3 矩阵的三角分解 159

4 正定矩阵的 Cholesky 分解法 162

5 追赶法 167

6 向量和矩阵范数 169

6.1 向量范数 169

6.2 矩阵的范数 172

7.1 Jacobi 迭代格式 177

7 Jacobi 迭代法 177

7.2 Jacobi 迭代法的收敛性 179

8 Gauss-Seidel 迭代法 182

8.1 Gauss-Scidel 迭代格式 182

8.2 Gauss-Seidel 迭代法的收敛性 184

9 逐次超松弛(SOR)迭代法 188

9.1 SOR 迭代格式 188

9.2 SOR 迭代法的收敛性 190

第六章 常微分方程初值问题的数值解法 193

1 引言 193

2 改进的 Euler 方法 196

3 Runge-Kutta 方法 201

4 线性多步法 206

4.1 Adams 外插法 207

4.2 Adams 内插法 209

第七章 变分原理 213

1 泛函分析中的一些概念 213

1.1 Hilbert 空间 213

1.2 算子的概念 218

1.3 Sobolev 空间 220

2 数学物理中的变分问题 225

3 二次泛函的极值问题 229

4 一维的变分问题 234

5.1 第一类边值问题 243

5 二维变分问题 243

5.2 其它边值问题 249

6 变分问题的近似计算 250

6.1 Ritz 方法 251

6.2 Galerkin 方法 253

第八章 偏微分方程边值问题的有限差分法 259

1 有限差分法的基本思想 259

1.1 差商的概念 259

1.2 差分法的基本思想与解题步骤 262

1.3 差分格式的相容性、收敛性和稳定性 264

2 直接差分方法 267

3 基于守恒原理的差分格式 271

4 极坐标形式的差分格式 273

5 边界条件的处理 277

5.1 第一类边界条件 277

5.2 第三类边界条件 279

6 基于变分原理的差分格式 283

第九章 偏微分方程初值问题的有限差分法 291

1 典型问题 291

2 差分格式及其收敛性与稳定性 293

3 一维对流弥散问题的差分格式 299

3.1 对流方程的差分格式 299

3.2 弥散方程的差分格式 305

3.3 对流弥散方程的差分格式 314

4 二维对流弥散问题的差分格式 316

4.1 一维格式的直接推广 318

4.2 交替方向隐式格式 319

4.3 守恒型差分格式 323

4.4 三角形网格有限差分法 328

第十章 有限元方法 334

1 有限元方法解题分析 334

1.1 从 Ritz 法出发 335

1.2 从 Galerkin 法出发 344

2.1 写出相应的变分问题 349

2.2 区域剖分 349

2 解二维问题的三角形元 349

2.3 确定单元基函数 350

2.4 形成有限元方程 357

2.5 边界条件的处理 362

3 解二维问题的高次元 367

3.1 三角形元的高次插值 368

3.2 解二维问题的矩形元 371

3.3 二维等参数单元 375

4 非稳定扩散问题的有限元解法 383

5 应用举例 390

第十一章 边界积分方程法 401

1 引言 401

2.1 广义 Green 公式 402

2 广义 Green 公式·基本解 402

2.2 基本解 404

3 化椭圆型方程为边界积分方程 409

3.1 化 Laplace 方程为边界积分方程 409

3.2 化 Helmholtz 型方程为边界积分方程 417

4 化抛物型方程为边界积分方程 420

5 边界有限元法 424

5.1 椭圆型方程边值问题的边界有限元法 424

5.2 抛物型方程初边值问题的边界有限元法 433

6 抛物方程边界元技术的双方程法 439

6.1 椭圆型方程的新型边界积分方程 440

6.2 双方程方法 449

7 应用举例 454

附篇一 最优化方法 458

1 最优化问题及其数学模型 458

2 线性规划解法 464

2.1 线性规划的基本概念与基本性质 465

2.2 单纯形方法的形成 467

2.3 单纯形方法计算步骤 470

2.4 使用表格形式的单纯形方法 472

2.5 求初始基可行解的方法 477

3 无约束问题的直接搜索法 483

3.1 一维搜索法 483

3.2 单纯形方法 488

4 使用导数的搜索法 492

4.1 最速下降法(梯度法) 493

4.2 牛顿法 494

4.3 最小二乘法 496

5 罚函数法 501

5.1 外点法 502

5.2 内点法 505

附篇二 灰色系统方法浅述 509

1 引言 509

2 关联分析 511

2.1 关联分析的含义 511

2.2 关联系数 513

2.3 关联度及其性质 515

2.4 优势分析 518

3 灰色系统建模与预测 522

3.1 数据的预处理 522

3.2 灰色系统建模原理 524

3.3 残差修正模型 528

3.4 灾变预测 529

3.5 模型检验法 532

4 应用举例 533

4.1 关联分析实例 533

4.2 灰色系统预测实例 537

参考文献 541