第一章 Cauchy型积分 1
1 Cauchy型积分的意义 1
1.1 Cauchy型积分的定义 1
1.2 分区全纯函数 4
2 Plemelj公式 6
2.1 Cauchy主值积分 6
2.2 曲线上弧长与弦长的关系 9
2.3 H？lder条件 13
2.4 Cauchy主值积分存在的一个充分条件 18
2.5 Plemelj公式 19
3 Cauchy型积分边值的性质 24
3.1 ИpивaЛoв定理 24
3.2 Cauchy型积分边值的导数 31
4 核密度中含有参数的Cauchy主值积分和积分换序问题 32
4.1 核密度带参数的Cauchy主值积分 32
4.2 积分换序问题 38
4.3 Cauchy主值积分反演公式 44
5 无穷直线上的Cauchy型积分 48
5.1 ？类 48
5.2 实轴上的Cauchy型积分及其性质 49
6.1 全纯函数边值的条件 53
6 解析函数边值的条件 53
6.2 亚纯函数边值的条件 56
7 高阶奇异积分和留数定理的推广 58
7.1 Cauchy定理的推广 58
7.2 高阶奇异积分 61
7.3 留数定理的推广 66
第二章 封闭曲线情况下的基本边值问题 74
1 引言 74
1.1 Riemann边值问题的提法 74
1.2 跳跃问题及其解法 75
2.1 齐次R问题与指标概念 77
2 齐次Riemann边值问题 77
2.2 齐次R问题的解法--简单情况 78
2.3 典则函数 80
2.4 齐次R问题的解法--一般情况 81
3 非齐次Riemann边值问题 83
3.1 非齐次R问题的求解 83
3.2 相联R问题 85
4 无穷曲线上的Riemann边值问题 87
4.1 实轴上的R问题 87
4.2 几点说明 91
5.1 齐次问题 92
5 非正则型的Riemann边值问题 92
5.2 非齐次问题 94
6 Hilbert边值问题 96
6.1 问题的提法 96
6.2 单位圆内的函数在圆外的对称扩张 97
6.3 单位圆的H问题 99
6.4 半平面中的H问题 105
7 复合边值问题 109
7.1 复合边值问题的提法与转化 109
7.2 RH问题的求解 112
8.1 周期Riemann边值问题的提法与转化 115
8 周期边值问题 115
8.2 齐次PR问题 118
8.3 非齐次PR问题 123
8.4 周期Hilbert问题 128
9 双周期Riemann边值问题 134
9.1 椭圆函数 134
9.2 双周期Riemann边值问题的提法与跳跃问题的解法 136
9.3 一般DR边值问题的解法 139
10 双准周期的Riemann边值问题 143
10.1 双准周期解析函数 143
10.2 加法双准周期的R问题 145
10.3 乘法双准周期的R问题 146
第三章 封闭曲线情况下的奇异积分方程 152
1 Cauchy核的奇异积分方程和奇异算子 152
1.1 一般概念 152
1.2 奇异算子的性质 154
2 特征方程及其相联方程的解法 156
2.1 特征方程的解法 156
2.2 特征方程的相联方程的解法 159
2.3 特征方程的Noether定理 161
3.1 奇异积分方程的正则化 162
3 奇异积分方程的正则化及一般的Noether定理 162
3.2 Noether定理 164
4 含周期核的奇异积分方程 166
4.1 Hilbert核的奇异积分方程 166
4.2 含ζ函数核的奇异积分方程 173
5 一类奇异积分方程的直接解法 178
5.1 引言 179
5.2 求解的一般方法 180
5.3 a(z)±b(z)无相同零点的正则型情况 185
5.4 a(z)±b(z)无相同零点的非正则型情况 188
5.5 a(z)±b(z)有相同零点的情况 196
5.6 一些应用 202
第四章 一般情况下的边值问题 206
1 Cauchy型积分在端点附近的性质 206
1.1 核密度属H类的情况 206
1.2 H？类函数 209
1.3 核密度属H？类时Cauchy型积分的性质 212
1.4 核密度属H？类是Cauchy主值积分的性质 217
1.5 积分路径具有结点的情况 219
2.1 开口弧段上的R问题 221
2 一般Riemann边值问题 221
2.2 带结点曲线上的R问题 227
2.3 相联R问题 230
2.4 几种重要特殊情况 231
3 间断系数的Hilbert边值问题 236
3.1 单位圆情况 236
3.2 半平面情况 238
4 其它边值问题 243
4.1 一般复合边值问题 243
4.2 一般的PR问题 246
4.3 开口弧段的DR问题 251
4.4 开口弧段的QR问题 261
1 特征方程及其相联方程 272
1.1 特征方程 272
第五章 一般情况下的奇异积分方程 272
1.2 相联方程 275
1.3 一般Cauchy主值积分的反演 277
2 完全奇异积分方程 279
2.1 正则化问题 279
2.2 正则化方程的讨论 282
2.3 一般情况下的Noether定理 285
3.1 曲线带结点的Hilbert核奇异积分方程 292
3 一般带周期核的奇异积分方程 292
3.2 一般Hilbert核积分的反演 294
3.3 实轴上的Hilbert核积分的反演 305
3.4 修改的反演问题 310
3.5 开口弧段上带ζ函数核的奇异积分方程 319
4 方程具一阶奇异性解的情况 323
4.2 Fredholm方程情况 323
4.2 Cauchy核奇异方程情况 326
4.3 特征方程及其相联方程的解 328
1 函数组的Riemann边值问题 334
1.1 一些记号与名称 334
第六章 函数组的边值问题与奇异积分方程组 334
1.2 齐次R问题化为Fredholm方程 336
1.3 齐次R问题的典则解组 339
1.4 齐次R问题的一般解与指标 346
1.5 函数组的相联齐次R问题 350
1.6 函数组的非齐次R问题 353
2 函数组的Hilbert边值问题和复合边值问题 356
2.1 典则矩阵的一般表示 356
2.2 函数组的齐次H问题 358
2.3 函数组的非齐次H问题 364
2.4 函数组的RH问题 365
3 奇异积分方程组 367
3.1 特征奇异积分方程组 367
3.2 特征方程的相联方程 371
3.3 完全奇异积分方程组及其正则化 373
3.4 奇异积分方程组的Noether定理 377
4 某些直接有效解法 381
4.1 有理系数矩阵的R问题 381
4.2 核与系数具解析性的奇异积分方程组 384
4.3 解析核密度的奇异积分的反演 387
1.1 分式线性变换群 389
1 与某些分式线性变换群相联系的边值问题与奇异积分方程 389
第七章 其它问题 389
1.2 与有限分式线性变换群有关的Riemann边值问题 392
1.3 与有限分式线性变换群有关的奇异积分方程 396
2 带位移的边值问题和奇异积分方程 401
2.1 带位移的Riemann边值问题 401
2.2 保角粘合定理以及SR问题转化为R问题 409
2.3 其他带位移的边值问题 415
2.4 带位移的奇异积分方程 424
3 卷积型线性方程组 426
3.1 Laurent变换 426
3.2 (A)型方程组 427
3.3 (B)型方程组 428
4 Cauchy主值积分的近似计算 430
4.1 一个原则性方法 430
4.2 Gauss-Chebyshev型求积公式 432
4.3 用分段线性函数逼近Cauchy主值积分 435
附录 有关Fredholm积分方程的结果 438
1.Fredholm定理 438
2. 预解核 440
3.推广 442
参考文献 443
索引 446