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第一章 Cauchy型积分 1

1 Cauchy型积分的意义 1

1.1 Cauchy型积分的定义 1

1.2 分区全纯函数 4

2 Plemelj公式 6

2.1 Cauchy主值积分 6

2.2 曲线上弧长与弦长的关系 9

2.3 H？lder条件 13

2.4 Cauchy主值积分存在的一个充分条件 18

2.5 Plemelj公式 19

3 Cauchy型积分边值的性质 24

3.1 ИpивaЛoв定理 24

3.2 Cauchy型积分边值的导数 31

4 核密度中含有参数的Cauchy主值积分和积分换序问题 32

4.1 核密度带参数的Cauchy主值积分 32

4.2 积分换序问题 38

4.3 Cauchy主值积分反演公式 44

5 无穷直线上的Cauchy型积分 48

5.1 ？类 48

5.2 实轴上的Cauchy型积分及其性质 49

6.1 全纯函数边值的条件 53

6 解析函数边值的条件 53

6.2 亚纯函数边值的条件 56

7 高阶奇异积分和留数定理的推广 58

7.1 Cauchy定理的推广 58

7.2 高阶奇异积分 61

7.3 留数定理的推广 66

第二章 封闭曲线情况下的基本边值问题 74

1 引言 74

1.1 Riemann边值问题的提法 74

1.2 跳跃问题及其解法 75

2.1 齐次R问题与指标概念 77

2 齐次Riemann边值问题 77

2.2 齐次R问题的解法--简单情况 78

2.3 典则函数 80

2.4 齐次R问题的解法--一般情况 81

3 非齐次Riemann边值问题 83

3.1 非齐次R问题的求解 83

3.2 相联R问题 85

4 无穷曲线上的Riemann边值问题 87

4.1 实轴上的R问题 87

4.2 几点说明 91

5.1 齐次问题 92

5 非正则型的Riemann边值问题 92

5.2 非齐次问题 94

6 Hilbert边值问题 96

6.1 问题的提法 96

6.2 单位圆内的函数在圆外的对称扩张 97

6.3 单位圆的H问题 99

6.4 半平面中的H问题 105

7 复合边值问题 109

7.1 复合边值问题的提法与转化 109

7.2 RH问题的求解 112

8.1 周期Riemann边值问题的提法与转化 115

8 周期边值问题 115

8.2 齐次PR问题 118

8.3 非齐次PR问题 123

8.4 周期Hilbert问题 128

9 双周期Riemann边值问题 134

9.1 椭圆函数 134

9.2 双周期Riemann边值问题的提法与跳跃问题的解法 136

9.3 一般DR边值问题的解法 139

10 双准周期的Riemann边值问题 143

10.1 双准周期解析函数 143

10.2 加法双准周期的R问题 145

10.3 乘法双准周期的R问题 146

第三章 封闭曲线情况下的奇异积分方程 152

1 Cauchy核的奇异积分方程和奇异算子 152

1.1 一般概念 152

1.2 奇异算子的性质 154

2 特征方程及其相联方程的解法 156

2.1 特征方程的解法 156

2.2 特征方程的相联方程的解法 159

2.3 特征方程的Noether定理 161

3.1 奇异积分方程的正则化 162

3 奇异积分方程的正则化及一般的Noether定理 162

3.2 Noether定理 164

4 含周期核的奇异积分方程 166

4.1 Hilbert核的奇异积分方程 166

4.2 含ζ函数核的奇异积分方程 173

5 一类奇异积分方程的直接解法 178

5.1 引言 179

5.2 求解的一般方法 180

5.3 a(z)±b(z)无相同零点的正则型情况 185

5.4 a(z)±b(z)无相同零点的非正则型情况 188

5.5 a(z)±b(z)有相同零点的情况 196

5.6 一些应用 202

第四章 一般情况下的边值问题 206

1 Cauchy型积分在端点附近的性质 206

1.1 核密度属H类的情况 206

1.2 H？类函数 209

1.3 核密度属H？类时Cauchy型积分的性质 212

1.4 核密度属H？类是Cauchy主值积分的性质 217

1.5 积分路径具有结点的情况 219

2.1 开口弧段上的R问题 221

2 一般Riemann边值问题 221

2.2 带结点曲线上的R问题 227

2.3 相联R问题 230

2.4 几种重要特殊情况 231

3 间断系数的Hilbert边值问题 236

3.1 单位圆情况 236

3.2 半平面情况 238

4 其它边值问题 243

4.1 一般复合边值问题 243

4.2 一般的PR问题 246

4.3 开口弧段的DR问题 251

4.4 开口弧段的QR问题 261

1 特征方程及其相联方程 272

1.1 特征方程 272

第五章 一般情况下的奇异积分方程 272

1.2 相联方程 275

1.3 一般Cauchy主值积分的反演 277

2 完全奇异积分方程 279

2.1 正则化问题 279

2.2 正则化方程的讨论 282

2.3 一般情况下的Noether定理 285

3.1 曲线带结点的Hilbert核奇异积分方程 292

3 一般带周期核的奇异积分方程 292

3.2 一般Hilbert核积分的反演 294

3.3 实轴上的Hilbert核积分的反演 305

3.4 修改的反演问题 310

3.5 开口弧段上带ζ函数核的奇异积分方程 319

4 方程具一阶奇异性解的情况 323

4.2 Fredholm方程情况 323

4.2 Cauchy核奇异方程情况 326

4.3 特征方程及其相联方程的解 328

1 函数组的Riemann边值问题 334

1.1 一些记号与名称 334

第六章 函数组的边值问题与奇异积分方程组 334

1.2 齐次R问题化为Fredholm方程 336

1.3 齐次R问题的典则解组 339

1.4 齐次R问题的一般解与指标 346

1.5 函数组的相联齐次R问题 350

1.6 函数组的非齐次R问题 353

2 函数组的Hilbert边值问题和复合边值问题 356

2.1 典则矩阵的一般表示 356

2.2 函数组的齐次H问题 358

2.3 函数组的非齐次H问题 364

2.4 函数组的RH问题 365

3 奇异积分方程组 367

3.1 特征奇异积分方程组 367

3.2 特征方程的相联方程 371

3.3 完全奇异积分方程组及其正则化 373

3.4 奇异积分方程组的Noether定理 377

4 某些直接有效解法 381

4.1 有理系数矩阵的R问题 381

4.2 核与系数具解析性的奇异积分方程组 384

4.3 解析核密度的奇异积分的反演 387

1.1 分式线性变换群 389

1 与某些分式线性变换群相联系的边值问题与奇异积分方程 389

第七章 其它问题 389

1.2 与有限分式线性变换群有关的Riemann边值问题 392

1.3 与有限分式线性变换群有关的奇异积分方程 396

2 带位移的边值问题和奇异积分方程 401

2.1 带位移的Riemann边值问题 401

2.2 保角粘合定理以及SR问题转化为R问题 409

2.3 其他带位移的边值问题 415

2.4 带位移的奇异积分方程 424

3 卷积型线性方程组 426

3.1 Laurent变换 426

3.2 (A)型方程组 427

3.3 (B)型方程组 428

4 Cauchy主值积分的近似计算 430

4.1 一个原则性方法 430

4.2 Gauss-Chebyshev型求积公式 432

4.3 用分段线性函数逼近Cauchy主值积分 435

附录 有关Fredholm积分方程的结果 438

1.Fredholm定理 438

2. 预解核 440

3.推广 442

参考文献 443

索引 446