平面解析几何学 1
第一章 直角坐标 1
1 直角坐标 1
2 直角坐标之实际运用 2
3 二点间之距离公式 4
习题1.1 6
4 二点连线之分点坐标公式 7
习题1.2 11
5 直线之斜角与斜率 12
6 二直线之夹角公式 15
7 二直线互相平行或垂直之条件 17
习题1.3 19
第二章 方程式与轨迹 21
1 常数，变数，与函数 21
2 方程式之曲线 22
习题2.1 26
3 适合所设几何条件之轨迹之方程式 26
习题2.2 28
4 方程式之讨论 29
5 讨论(1)：坐标轴上之截距 29
6 讨论(2)：对称 30
7 讨论(3)：曲线之范围 33
8 讨论(4)：渐近线 35
9 全部讨论及画曲线之例 38
习题2.3 39
10 分解因式画图法 40
11 二曲线之交点 42
习题2.4 43
第三章 直线及圆 45
1 直线之方程式 45
2 一次方程式之轨迹 46
3 关于直线方程式之作图及各种计算 48
习题3.1 50
4 圆之方程式 52
5 轨迹为圆之方程式判定法 53
6 关于圆方程式之作图及各种计算 56
7 圆与其切线之各种计算 61
习题3.2 64
第四章 抛物线，椭圆，及双曲线 67
1 抛物线 67
2 "a"值大小之影响 69
3 抛物线方程式之其他形式 70
习题4.1 74
4 椭圆 75
5 椭圆之性质名称及a，b，c值之讨论 76
6 椭圆方程式之另一形式 78
7 对于"Ax2＋By2＝C"形式方程式之轨迹判定 79
习题4.2 84
8 双曲线 85
9 双曲线之性质名称 87
10 双曲线之渐近线 87
11 双曲线方程式之另一形式 89
习题4.3 93
12 锥线之切线 94
习题4.4 95
第五章 坐标轴之变换及二次方程式曲线之实用判定法 96
1 坐标轴之变换 96
2 坐标轴之平移 96
3 平移坐标轴后曲线方程式之变化 98
4 平移坐标轴以简化方程式 99
习题5.1 102
5 轴平行于坐标轴而顶点在任何位置之抛物线 104
6 二轴各平行于二坐标轴而中心在任何位置之椭圆 106
7 二轴各平行于二坐标轴而中心在任何位置之双曲线 107
8 其他情形 109
习题5.2 111
9 坐标轴之旋转 111
10 旋转坐标轴后曲线方程式之变化 114
11 利用旋转坐标轴法以消除xy项 115
习题5.3 119
12 一般讨论 119
微分学 122
第六章 极限及连续函数 122
1 变数之极限 122
2 无穷小及无穷大 124
3 关于无穷小及无穷大之代数运算定理 125
4 极限定理之代数运算式 126
5 极限定理之意义 128
6 函数之极限 130
7 分母为零之分数——不定形 132
8 其他形式之不定形 136
习题6.1 139
9 连续函数 140
10 函数之不连续点 143
11 函数在某点为不定形时之连续问题 145
习题6.2 146
第七章 微分法 147
1 增量 147
2 函数(因变数)增量之文字计算式 148
3 增量比及导数 149
4 导数之各种记法 153
5 微分运算记法总论 154
习题7.1 157
6 导数之代数意义 158
7 导数之几何意义 161
习题7.2 168
第八章 微分公式㈠——隐函数微分法；参数方程式导数公式 170
1 公式总列 170
2 公式〔1〕"？(f1＋f2-f3＋……)＝？＋？-？＋……"之证明 172
3 公式〔2〕与〔2'〕，"？(cf1)＝c？"与"？(？)＝？"，之证明 173
4 公式〔3〕"？(f1f2)＝f1？＋？"之证明 174
5 公式〔4〕"？(？)＝？"之证明 175
6 以上四个分解公式之连续运用 177
习题8.1 180
7 串算公式〔5〕"？＝？·？"之证明 181
8 代数基本函数式之导数公式〔6〕与〔7〕，"？＝0"与"？＝1"，之证明 183
9 代数基本函数式xn及其衍式vn之导数公式〔8〕与〔8a〕，"？(xn)＝nxn 1"与"？(vn)＝nvn-1？"，之证明 184
10 代数函数之全部微分手续 189
习题8.2 192
11 逆算公式〔9〕"？＝？"之证明 193
12 对于"隐函数"之微分方法 197
13 关于三种微分方法之概论 201
习题8.3 203
14 曲线之参数方程式 204
15 参数方程式导数公式〔5A〕"？＝？"之证明 207
16 对于联立方程式应用隐函数微分法 210
17 特殊情形——缺少变数之方程式 214
习题8.4 217
第九章 微分公式㈡—超越函数式导数公式 219
1 公式总列 219
2 自然对数之底，e 221
3 关于对数函数之极限定理 222
4 指数函数与对数函数之图形 223
5 公式〔10〕与〔10a〕，"？(logex)＝？"与"？(logev)＝？·？，之证明 225
6 公式〔11〕与〔11a〕，"？(logax)＝？"与"？(logav)＝？·？"，之证明 227
7 公式〔12〕与〔12a〕，"？(ex)＝ex"与"？(ev)＝ev·？"，之证明 229
8 公式〔13〕与〔13a〕，"？(ax)＝(logea)·ax"与"？(av)＝(logea)av·？"，之证明 229
9 公式〔14〕"？(uv)＝vuv-1？＋(logeu)uv·？"之证明；对数微分法 231
10 包含有基本对数式(logex，logev，logax，logav)及基本指数式(ex，ev，ax，av)之函数微分之例 237
习题9.1 240
11 "？"之极限值 241
12 三角函数之图形 244
13 公式〔15〕与〔15a〕，"？(sinx)＝cosx"与"？(sinv)＝cosv·？"，之证明 248
14 公式〔16〕与〔16a〕，"？(cosx)＝-sinx"与"？(cosv)＝-sinv·？"，之证明 249
15 公式〔17〕与〔17a〕，"？(tanx)＝sec2x"与"？(tanv)＝sec2v·？"，之证明 250
16 公式〔18〕与〔18a〕，"？(cotx)＝-csc2x"与"？(cotv)＝-csc2v·？"，之证明 251
17 公式〔19〕与〔19a〕，"？(secx)＝secx tanx"与"？(secv)＝secvtan v·？，"之证明 251
18 公式〔20〕与〔20a〕，"？(cscx)＝-cscxcotx"与"？(cscv)＝-cscvcot v·？"之证明 252
19 包含有基本三角函数式之函数微分之例 254
习题9.2 257
20 关于基本反三角函数之图形及微分手续 259
21 公式〔21〕与〔21a〕，"？(sin-1 x)＝？"与"？(sin-1v)＝？’"之证明 260
22 公式〔22〕与〔22a〕，"？(cos-1x)＝-？"与"？(cos-1v)＝？"，之证明 264
23 公式〔23〕与〔23a〕’"？(tan-1 x)＝？"与"？(tan-1v)＝？"，之证明 266
24 公式〔24〕与〔24a〕，"？(cot-1x)＝-？"与"？(cot-1v)＝-？"，之证明 268
25 公式〔25〕与〔25a〕，"？(sec-1x)＝？与"？(sec-1v)＝？"，之证明 269
26 公式〔26〕与〔26a〕，"？(csc-1x)＝-？"与"？(csc-1v)＝-？"，之证明 271
27 包含有基本反三角函数式之函数微分之例 274
习题9.3 275
28 对于超越方程式应用隐函数微分法 277
29 超越式之参数方程式及其微分运算 278
30 对于联立超越方程式应用隐函数微分法 282
31 上章与本章中微分公式及微分方法总论 285
习题9.4 288
第十章 导数之应用㈠——变率 290
1 绪论 290
2 变率之意义及原理 292
3 直线运动中之速度 294
4 直线运动中之加速度 301
5 平面曲线运动之路线方程式，速度，及加速度 304
(A)路线方程式 305
(B)速度公式 307
(C)加速度公式 310
例题 312
(D)平面曲线运动之另一种形式所设方程式及例题 323
习题10.1 332
6 相关时间变率及例题(8则) 337
7 时间变率中之时间单位 356
习题10.2 357
8 自变数非代表时间之其他变率及例题(5则) 362
习题10.3 368
第十一章 导数之应用(二)——极大与极小——(1)基本分析 371
1 绪论 371
2 增函数与减函数 371
(a)增函数 372
(b)减函数 372
(c)增函数或减函数之判定法 373
(d)函数之"增部分"与"减部分"及例题 374
习题11.1 380
3 极大与极小之定义 382
4 极大与极小之判定原则 385
5 极大与极小之求法——第一种情形(使导数之值等于零)——原理分析及法则，例题 386
6 极大与极小之求法——第二种情形(使导数之倒数之值等于零)——原理分析及法则，例题 399
7 极大与极小之求法——特殊情形(所论函数变换函数式之点)——原理分析及法则，例题 413
8 函数之端点——"端点"极大与极小： 420
(a)"端点"极大与极小之理论与判定法 420
(b)端点之决定 425
(ⅰ)"自然端点""——意义及例题(4则) 425
(ⅱ)"限制端点"——意义及例题(3则) 434
(ⅲ)实际采用之端点——例题 441
(c)"无穷远端点"极大与极小——意义，计算法，与例题(2则) 443
9 函数之四种情形"相对"极大与极小求法总表——总表及注释 450
例题 455
习题11.2 467
10 "绝对极大"与"绝对极小"——原理分析，求法，与例题 470
11 具有不能确定值"不连续点"之函数——"绝对极大"与"绝对极小"之求法 480
12 "多值函数"——"绝对极大"与"绝对极小"之求法及例题 482
习题11.3 486
第十二章 导数之应用(二)——极大与极小——(2)实用 489
1 应用问题之基本解法——解算原则与手续 489
例题(3则，附讨论) 491
2 关于函数之"相对极大"与"相对极小"出现次序之定理 502
定理1之证明 502
定理2之证明 503
定理2之系 503
注意点及例题(3则) 505
3 各式应用问题之演算——关于决定所论函数之"绝对极大与极小"之三种方法说明及讨论 510
例题(10分) 514
关于决定所论函数之端点自变数值手续综论 587
习题12.1 588
4 应用联立方程式隐函数微分法以解算应用问题——“变化手续’：解算手续之讨论 648
例题(5则)(附"与以前解法对照说明") 649
习题12.2 687
5 具有参数方程式之应用问题(附例题1则) 688
习题12.3 698
第十三章 高阶导数及导数之变换 701
1 逐次微分——高阶导数 701
2 高阶导数之记法 702
3 关于变数个数与方程式个数之讨论 706
4 第二导数及较高阶导数之求法 709
(A)原设？函数形式 710
(B)原设隐函数形式 711
(C)原设参数方程式形式 714
例题(3则) 718
习题13.1 728
5 第二导数值为正或负之几何意义——原则之论述 731
例题(6则) 739
6 拐点——定义，判定手续，及例题 746
习题13.2 754
7 "相对极大与极小"之第二导数检定法 759
8 加速度为位置-时间函数之第二导数 762
习题13.3 764
9 导数之变换——逐次微分程序中之自变数问题讨论 765
变换导数之一般手续 767
变换导数关系式之意义演述 769
变换导数关系式之应用，二种情形讨论： 775
(ⅰ) "实用量"公式中之变换导数 775
(ⅱ) 微分方程式中之变换导数 778
关于二种应用情形之讨论 780
10 因变数与自变数互易之变换导数公式 781
11 变换自变数与因变数之变换导数之例—— 786
(ⅰ)变换因变数而不变换自变数之变换导数 786
(ⅱ)变换自变数而不变换因变数之变换导数 794
(ⅲ)同时变换因变数与自变数之变换导数 797
(ⅳ)附论参数方程式之变换导数 799
12 在平移坐标轴程序中之变换导数公式 804
13 在旋转坐标轴程序中之变换导数公式 808
14 由直角坐标变换至极坐标程序中之变换导数公式——"极坐标"之规定 820
曲线之"极标方程式" 822
同一曲线之"极标方程式"与"卡标方程式"之互相变换 822
变换导数关系式 824
极坐标中之切线斜率公式与曲率半径公式 828
切线斜率公式与曲率半径公式之各种形式 830
例题 831
习题13.4 835