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平面解析几何学 1

第一章 直角坐标 1

1 直角坐标 1

2 直角坐标之实际运用 2

3 二点间之距离公式 4

习题1.1 6

4 二点连线之分点坐标公式 7

习题1.2 11

5 直线之斜角与斜率 12

6 二直线之夹角公式 15

7 二直线互相平行或垂直之条件 17

习题1.3 19

第二章 方程式与轨迹 21

1 常数，变数，与函数 21

2 方程式之曲线 22

习题2.1 26

3 适合所设几何条件之轨迹之方程式 26

习题2.2 28

4 方程式之讨论 29

5 讨论(1)：坐标轴上之截距 29

6 讨论(2)：对称 30

7 讨论(3)：曲线之范围 33

8 讨论(4)：渐近线 35

9 全部讨论及画曲线之例 38

习题2.3 39

10 分解因式画图法 40

11 二曲线之交点 42

习题2.4 43

第三章 直线及圆 45

1 直线之方程式 45

2 一次方程式之轨迹 46

3 关于直线方程式之作图及各种计算 48

习题3.1 50

4 圆之方程式 52

5 轨迹为圆之方程式判定法 53

6 关于圆方程式之作图及各种计算 56

7 圆与其切线之各种计算 61

习题3.2 64

第四章 抛物线，椭圆，及双曲线 67

1 抛物线 67

2 "a"值大小之影响 69

3 抛物线方程式之其他形式 70

习题4.1 74

4 椭圆 75

5 椭圆之性质名称及a，b，c值之讨论 76

6 椭圆方程式之另一形式 78

7 对于"Ax2＋By2＝C"形式方程式之轨迹判定 79

习题4.2 84

8 双曲线 85

9 双曲线之性质名称 87

10 双曲线之渐近线 87

11 双曲线方程式之另一形式 89

习题4.3 93

12 锥线之切线 94

习题4.4 95

第五章 坐标轴之变换及二次方程式曲线之实用判定法 96

1 坐标轴之变换 96

2 坐标轴之平移 96

3 平移坐标轴后曲线方程式之变化 98

4 平移坐标轴以简化方程式 99

习题5.1 102

5 轴平行于坐标轴而顶点在任何位置之抛物线 104

6 二轴各平行于二坐标轴而中心在任何位置之椭圆 106

7 二轴各平行于二坐标轴而中心在任何位置之双曲线 107

8 其他情形 109

习题5.2 111

9 坐标轴之旋转 111

10 旋转坐标轴后曲线方程式之变化 114

11 利用旋转坐标轴法以消除xy项 115

习题5.3 119

12 一般讨论 119

微分学 122

第六章 极限及连续函数 122

1 变数之极限 122

2 无穷小及无穷大 124

3 关于无穷小及无穷大之代数运算定理 125

4 极限定理之代数运算式 126

5 极限定理之意义 128

6 函数之极限 130

7 分母为零之分数——不定形 132

8 其他形式之不定形 136

习题6.1 139

9 连续函数 140

10 函数之不连续点 143

11 函数在某点为不定形时之连续问题 145

习题6.2 146

第七章 微分法 147

1 增量 147

2 函数(因变数)增量之文字计算式 148

3 增量比及导数 149

4 导数之各种记法 153

5 微分运算记法总论 154

习题7.1 157

6 导数之代数意义 158

7 导数之几何意义 161

习题7.2 168

第八章 微分公式㈠——隐函数微分法；参数方程式导数公式 170

1 公式总列 170

2 公式〔1〕"？(f1＋f2-f3＋……)＝？＋？-？＋……"之证明 172

3 公式〔2〕与〔2'〕，"？(cf1)＝c？"与"？(？)＝？"，之证明 173

4 公式〔3〕"？(f1f2)＝f1？＋？"之证明 174

5 公式〔4〕"？(？)＝？"之证明 175

6 以上四个分解公式之连续运用 177

习题8.1 180

7 串算公式〔5〕"？＝？·？"之证明 181

8 代数基本函数式之导数公式〔6〕与〔7〕，"？＝0"与"？＝1"，之证明 183

9 代数基本函数式xn及其衍式vn之导数公式〔8〕与〔8a〕，"？(xn)＝nxn 1"与"？(vn)＝nvn-1？"，之证明 184

10 代数函数之全部微分手续 189

习题8.2 192

11 逆算公式〔9〕"？＝？"之证明 193

12 对于"隐函数"之微分方法 197

13 关于三种微分方法之概论 201

习题8.3 203

14 曲线之参数方程式 204

15 参数方程式导数公式〔5A〕"？＝？"之证明 207

16 对于联立方程式应用隐函数微分法 210

17 特殊情形——缺少变数之方程式 214

习题8.4 217

第九章 微分公式㈡—超越函数式导数公式 219

1 公式总列 219

2 自然对数之底，e 221

3 关于对数函数之极限定理 222

4 指数函数与对数函数之图形 223

5 公式〔10〕与〔10a〕，"？(logex)＝？"与"？(logev)＝？·？，之证明 225

6 公式〔11〕与〔11a〕，"？(logax)＝？"与"？(logav)＝？·？"，之证明 227

7 公式〔12〕与〔12a〕，"？(ex)＝ex"与"？(ev)＝ev·？"，之证明 229

8 公式〔13〕与〔13a〕，"？(ax)＝(logea)·ax"与"？(av)＝(logea)av·？"，之证明 229

9 公式〔14〕"？(uv)＝vuv-1？＋(logeu)uv·？"之证明；对数微分法 231

10 包含有基本对数式(logex，logev，logax，logav)及基本指数式(ex，ev，ax，av)之函数微分之例 237

习题9.1 240

11 "？"之极限值 241

12 三角函数之图形 244

13 公式〔15〕与〔15a〕，"？(sinx)＝cosx"与"？(sinv)＝cosv·？"，之证明 248

14 公式〔16〕与〔16a〕，"？(cosx)＝-sinx"与"？(cosv)＝-sinv·？"，之证明 249

15 公式〔17〕与〔17a〕，"？(tanx)＝sec2x"与"？(tanv)＝sec2v·？"，之证明 250

16 公式〔18〕与〔18a〕，"？(cotx)＝-csc2x"与"？(cotv)＝-csc2v·？"，之证明 251

17 公式〔19〕与〔19a〕，"？(secx)＝secx tanx"与"？(secv)＝secvtan v·？，"之证明 251

18 公式〔20〕与〔20a〕，"？(cscx)＝-cscxcotx"与"？(cscv)＝-cscvcot v·？"之证明 252

19 包含有基本三角函数式之函数微分之例 254

习题9.2 257

20 关于基本反三角函数之图形及微分手续 259

21 公式〔21〕与〔21a〕，"？(sin-1 x)＝？"与"？(sin-1v)＝？’"之证明 260

22 公式〔22〕与〔22a〕，"？(cos-1x)＝-？"与"？(cos-1v)＝？"，之证明 264

23 公式〔23〕与〔23a〕’"？(tan-1 x)＝？"与"？(tan-1v)＝？"，之证明 266

24 公式〔24〕与〔24a〕，"？(cot-1x)＝-？"与"？(cot-1v)＝-？"，之证明 268

25 公式〔25〕与〔25a〕，"？(sec-1x)＝？与"？(sec-1v)＝？"，之证明 269

26 公式〔26〕与〔26a〕，"？(csc-1x)＝-？"与"？(csc-1v)＝-？"，之证明 271

27 包含有基本反三角函数式之函数微分之例 274

习题9.3 275

28 对于超越方程式应用隐函数微分法 277

29 超越式之参数方程式及其微分运算 278

30 对于联立超越方程式应用隐函数微分法 282

31 上章与本章中微分公式及微分方法总论 285

习题9.4 288

第十章 导数之应用㈠——变率 290

1 绪论 290

2 变率之意义及原理 292

3 直线运动中之速度 294

4 直线运动中之加速度 301

5 平面曲线运动之路线方程式，速度，及加速度 304

(A)路线方程式 305

(B)速度公式 307

(C)加速度公式 310

例题 312

(D)平面曲线运动之另一种形式所设方程式及例题 323

习题10.1 332

6 相关时间变率及例题(8则) 337

7 时间变率中之时间单位 356

习题10.2 357

8 自变数非代表时间之其他变率及例题(5则) 362

习题10.3 368

第十一章 导数之应用(二)——极大与极小——(1)基本分析 371

1 绪论 371

2 增函数与减函数 371

(a)增函数 372

(b)减函数 372

(c)增函数或减函数之判定法 373

(d)函数之"增部分"与"减部分"及例题 374

习题11.1 380

3 极大与极小之定义 382

4 极大与极小之判定原则 385

5 极大与极小之求法——第一种情形(使导数之值等于零)——原理分析及法则，例题 386

6 极大与极小之求法——第二种情形(使导数之倒数之值等于零)——原理分析及法则，例题 399

7 极大与极小之求法——特殊情形(所论函数变换函数式之点)——原理分析及法则，例题 413

8 函数之端点——"端点"极大与极小： 420

(a)"端点"极大与极小之理论与判定法 420

(b)端点之决定 425

(ⅰ)"自然端点""——意义及例题(4则) 425

(ⅱ)"限制端点"——意义及例题(3则) 434

(ⅲ)实际采用之端点——例题 441

(c)"无穷远端点"极大与极小——意义，计算法，与例题(2则) 443

9 函数之四种情形"相对"极大与极小求法总表——总表及注释 450

例题 455

习题11.2 467

10 "绝对极大"与"绝对极小"——原理分析，求法，与例题 470

11 具有不能确定值"不连续点"之函数——"绝对极大"与"绝对极小"之求法 480

12 "多值函数"——"绝对极大"与"绝对极小"之求法及例题 482

习题11.3 486

第十二章 导数之应用(二)——极大与极小——(2)实用 489

1 应用问题之基本解法——解算原则与手续 489

例题(3则，附讨论) 491

2 关于函数之"相对极大"与"相对极小"出现次序之定理 502

定理1之证明 502

定理2之证明 503

定理2之系 503

注意点及例题(3则) 505

3 各式应用问题之演算——关于决定所论函数之"绝对极大与极小"之三种方法说明及讨论 510

例题(10分) 514

关于决定所论函数之端点自变数值手续综论 587

习题12.1 588

4 应用联立方程式隐函数微分法以解算应用问题——“变化手续’：解算手续之讨论 648

例题(5则)(附"与以前解法对照说明") 649

习题12.2 687

5 具有参数方程式之应用问题(附例题1则) 688

习题12.3 698

第十三章 高阶导数及导数之变换 701

1 逐次微分——高阶导数 701

2 高阶导数之记法 702

3 关于变数个数与方程式个数之讨论 706

4 第二导数及较高阶导数之求法 709

(A)原设？函数形式 710

(B)原设隐函数形式 711

(C)原设参数方程式形式 714

例题(3则) 718

习题13.1 728

5 第二导数值为正或负之几何意义——原则之论述 731

例题(6则) 739

6 拐点——定义，判定手续，及例题 746

习题13.2 754

7 "相对极大与极小"之第二导数检定法 759

8 加速度为位置-时间函数之第二导数 762

习题13.3 764

9 导数之变换——逐次微分程序中之自变数问题讨论 765

变换导数之一般手续 767

变换导数关系式之意义演述 769

变换导数关系式之应用，二种情形讨论： 775

(ⅰ) "实用量"公式中之变换导数 775

(ⅱ) 微分方程式中之变换导数 778

关于二种应用情形之讨论 780

10 因变数与自变数互易之变换导数公式 781

11 变换自变数与因变数之变换导数之例—— 786

(ⅰ)变换因变数而不变换自变数之变换导数 786

(ⅱ)变换自变数而不变换因变数之变换导数 794

(ⅲ)同时变换因变数与自变数之变换导数 797

(ⅳ)附论参数方程式之变换导数 799

12 在平移坐标轴程序中之变换导数公式 804

13 在旋转坐标轴程序中之变换导数公式 808

14 由直角坐标变换至极坐标程序中之变换导数公式——"极坐标"之规定 820

曲线之"极标方程式" 822

同一曲线之"极标方程式"与"卡标方程式"之互相变换 822

变换导数关系式 824

极坐标中之切线斜率公式与曲率半径公式 828

切线斜率公式与曲率半径公式之各种形式 830

例题 831

习题13.4 835