第一章 作为数学语言的集合论 1
1 集合论简史 1
2 集合论语言 2
3 开句和量词 4
4 集合的幂集 7
5 集合的运算规则 9
6 集合论悖论及公理集合论简述 9
附录 ZF 集合论公理 11
第二章 关系和函数 14
1 笛卡儿积 14
2 日常生活中提炼出来的关系 16
3 关系的表示 19
4 等价关系 23
5 序关系 24
6 函数是一个特殊的关系 32
1 映射与鸽笼原理 37
第三章 映射及其应用 37
2 映射与排列组合 44
3 满射个数的计算公式 51
4 作为科学方法的映射观点 54
第四章 商集与同余 57
1 把同余看作商集的数学模型 57
2 同余的代数运算 62
3 使用商集语言解题及其解题规律 66
1 自然数公理与数学归纳法原理 76
第五章 数学归纳法 76
2 有序集与良序公理 78
3 归纳公理与良序公理的等价 80
4 一些似是而非的问题 83
第六章 数系 91
1 自然数系 N 91
2 扩充新数的原则 95
3 整数系 Z 96
4 有理数系 Q 101
5 实数系 R 104
6 复数系 C 111
7 四元数与八元数 112
8 数系向“无限”的扩充 118
第七章 多项式环与因子分解 123
1 整模 123
2 理想子环 126
3 最高公因子 128
4 欧几里得算法 131
5 素因子分解 133
第八章 几何作图三大问题 138
1 尺规作图可能性准则 139
2 扩域与自同构 140
3 倍立方体问题 146
4 三等分任意角问题 147
5 化圆为方问题 150
1 抽象群及例 153
第九章 群论略说 153
2 群的生成元，二面体群 157
3 置换群 165
4 伽罗瓦群，五次及五次以上方程不可用根式求解 173
5 无限旋转群 189
第十章 集合代数与命题演算 202
1 传统逻辑的不足 202
2 代数，集合代数 204
3 命题，复合命题 209
4 量词和谓词简介 218
第十一章 向量几何以及初等几何的机器证明 221
1 向量空间 221
2 向量的乘法 222
3 平面及空间直线 225
4 几何模型的建立 226
5 某些欧氏公理及定理的翻译及核验 228
6 公垂线定理的证明 238
7 关于“角”的代数定义 239
8 复平面上整线性变换与求解几何轨迹 247
9 初等几何的机器证明大意 250
第十二章 几何证题中的动态方法及投影方法 259
1 什么是几何动态 259
2 几何动态与极值探求 261
3 几何动态与定值探求 264
4 几何动态与轨迹探求 266
5 投影与垂足位置的确定 267
6 投影与三垂线定理的构造 269
7 投影与异面直线距离的确定 272
8 投影与面积投影定理的构造 273
9 投影与截面的作出 275
10 投影与视图的作出 277
第十三章 几何基础与几何模型 279
1 欧几里得的《几何原本》 279
2 希尔伯特的《几何基础》，近代公理法的基本思想 283
3 双曲几何学和椭圆几何学 290
4 射影几何学的公理系和模型 297
5 爱尔兰根纲领，变换群与几何学 309
6 射影几何学在中学几何里的应用举例 311
第十四章 拓扑学大意 317
1 局部性质和整体性质 318
2 距离空间，拓扑空间 319
3 同胚 323
4 布劳威尔不动点定理 326
5 映射的同伦和单连通性 328
6 基本群 332
7 曲面的同调群 334
8 维数的定义 341
第十五章 长度与面积 351
1 长度公理与面积公理 351
2 三角形和凸多边形的面积 354
3 多边形面积，解析几何方法 355
4 曲线多边形的面积，内填外包法 358
5 进一步的发展 359
第十六章 微积分与初等数学研究的若干课题 363
1 θ 和 π 的超越性 363
2 微积分在中学数学中的应用 369
3 函数的某些性态的研究 391
4 多值函数与黎曼面，复初等函数 404
第十七章 经济数学模型简析 412
1 数列极限与利息计算 412
2 函数与经济关系的数学模型 425
3 导数与边际分析 427
4 导数与弹性分析 431
5 微分学与经济学的优化问题 435
第十八章 组合数学初步 441
1 计数基本原理，排列公式 442
2 二项式定理及其推广 445
3 容斥原理 449
4 线性递归方程 454
5 母函数 460
6 抽屉原理和拉姆赛定理 469
7 其他 473
第十九章 应用数学例说 479
1 线性规划和人事指派 479
2 信息量的计算 482
3 控制论中的状态空间方法 485
4 从田忌赛马说到对策论 490
5 密码体制 496
6 投票模型 500
7 调度理论 503
8 非线性规划与极值搜索 505
第二十章 20世纪数学史略 511
1 20世纪数学的特点 511
2 20世纪数学中心的转移 512
3 20世纪数学发展的梗概 515
参考文献 523