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第一章 作为数学语言的集合论 1

1 集合论简史 1

2 集合论语言 2

3 开句和量词 4

4 集合的幂集 7

5 集合的运算规则 9

6 集合论悖论及公理集合论简述 9

附录 ZF 集合论公理 11

第二章 关系和函数 14

1 笛卡儿积 14

2 日常生活中提炼出来的关系 16

3 关系的表示 19

4 等价关系 23

5 序关系 24

6 函数是一个特殊的关系 32

1 映射与鸽笼原理 37

第三章 映射及其应用 37

2 映射与排列组合 44

3 满射个数的计算公式 51

4 作为科学方法的映射观点 54

第四章 商集与同余 57

1 把同余看作商集的数学模型 57

2 同余的代数运算 62

3 使用商集语言解题及其解题规律 66

1 自然数公理与数学归纳法原理 76

第五章 数学归纳法 76

2 有序集与良序公理 78

3 归纳公理与良序公理的等价 80

4 一些似是而非的问题 83

第六章 数系 91

1 自然数系 N 91

2 扩充新数的原则 95

3 整数系 Z 96

4 有理数系 Q 101

5 实数系 R 104

6 复数系 C 111

7 四元数与八元数 112

8 数系向“无限”的扩充 118

第七章 多项式环与因子分解 123

1 整模 123

2 理想子环 126

3 最高公因子 128

4 欧几里得算法 131

5 素因子分解 133

第八章 几何作图三大问题 138

1 尺规作图可能性准则 139

2 扩域与自同构 140

3 倍立方体问题 146

4 三等分任意角问题 147

5 化圆为方问题 150

1 抽象群及例 153

第九章 群论略说 153

2 群的生成元，二面体群 157

3 置换群 165

4 伽罗瓦群，五次及五次以上方程不可用根式求解 173

5 无限旋转群 189

第十章 集合代数与命题演算 202

1 传统逻辑的不足 202

2 代数，集合代数 204

3 命题，复合命题 209

4 量词和谓词简介 218

第十一章 向量几何以及初等几何的机器证明 221

1 向量空间 221

2 向量的乘法 222

3 平面及空间直线 225

4 几何模型的建立 226

5 某些欧氏公理及定理的翻译及核验 228

6 公垂线定理的证明 238

7 关于“角”的代数定义 239

8 复平面上整线性变换与求解几何轨迹 247

9 初等几何的机器证明大意 250

第十二章 几何证题中的动态方法及投影方法 259

1 什么是几何动态 259

2 几何动态与极值探求 261

3 几何动态与定值探求 264

4 几何动态与轨迹探求 266

5 投影与垂足位置的确定 267

6 投影与三垂线定理的构造 269

7 投影与异面直线距离的确定 272

8 投影与面积投影定理的构造 273

9 投影与截面的作出 275

10 投影与视图的作出 277

第十三章 几何基础与几何模型 279

1 欧几里得的《几何原本》 279

2 希尔伯特的《几何基础》，近代公理法的基本思想 283

3 双曲几何学和椭圆几何学 290

4 射影几何学的公理系和模型 297

5 爱尔兰根纲领，变换群与几何学 309

6 射影几何学在中学几何里的应用举例 311

第十四章 拓扑学大意 317

1 局部性质和整体性质 318

2 距离空间，拓扑空间 319

3 同胚 323

4 布劳威尔不动点定理 326

5 映射的同伦和单连通性 328

6 基本群 332

7 曲面的同调群 334

8 维数的定义 341

第十五章 长度与面积 351

1 长度公理与面积公理 351

2 三角形和凸多边形的面积 354

3 多边形面积，解析几何方法 355

4 曲线多边形的面积，内填外包法 358

5 进一步的发展 359

第十六章 微积分与初等数学研究的若干课题 363

1 θ 和 π 的超越性 363

2 微积分在中学数学中的应用 369

3 函数的某些性态的研究 391

4 多值函数与黎曼面，复初等函数 404

第十七章 经济数学模型简析 412

1 数列极限与利息计算 412

2 函数与经济关系的数学模型 425

3 导数与边际分析 427

4 导数与弹性分析 431

5 微分学与经济学的优化问题 435

第十八章 组合数学初步 441

1 计数基本原理，排列公式 442

2 二项式定理及其推广 445

3 容斥原理 449

4 线性递归方程 454

5 母函数 460

6 抽屉原理和拉姆赛定理 469

7 其他 473

第十九章 应用数学例说 479

1 线性规划和人事指派 479

2 信息量的计算 482

3 控制论中的状态空间方法 485

4 从田忌赛马说到对策论 490

5 密码体制 496

6 投票模型 500

7 调度理论 503

8 非线性规划与极值搜索 505

第二十章 20世纪数学史略 511

1 20世纪数学的特点 511

2 20世纪数学中心的转移 512

3 20世纪数学发展的梗概 515

参考文献 523