第一章 引言 1
1 方程的推导 1
1.1 均匀弦的横振动与波动方程 1
1.2 热传导方程 5
1.3 Laplace方程和Poisson方程 9
练习1-1 10
2 偏微分方程的一些定义 11
3 定解条件与定解问题 12
练习1-2 12
3.1 弦振动方程的初始条件和边界条件 13
3.2 热传导方程的初始条件和边界条件 17
3.3 定解问题的提法 19
练习1-3 20
4 两个自变量的二阶线性方程的分类与化简 21
4.1 两个自变量的二阶线性方程的分类 22
4.2 两个自变量的二阶线性方程的化简 24
5 多个自变量的二阶线性方程的分类 32
练习1-4 32
练习1-5 38
6 定解问题的适定性 38
6.1 定解问题的适定性概念 38
6.2 不适定问题举例 41
6.3 不适定问题有待研究 43
习题1 44
第二章 波动方程 47
1 弦振动方程的初值问题 47
1.1 无界弦的自由振动 d Alembert公式 47
1.2 波的传播 依赖区域决定区域和影响区域 49
1.3 迭加原理 55
1.4 无界弦的受迫振动 57
1.5 齐次化原理(Duhamel原理) 61
练习2-1 64
2.1 三维齐次波动方程初值问题的球平均法 65
2 高维波动方程的初值问题 65
2.2 三维非齐次波动方程初值问题的解推迟势 71
2.3 二维波动方程初值问题的降维法 73
2.4 依赖区域 决定区域 影响区域与特征锥 76
2.5 三维波与二维波在传播上的区别 Huygens原理 波的弥散 80
练习2-2 83
3 半无界弦的混合问题 84
练习2-3 89
4 有界域上混合问题的分离变量法 89
4.1 齐次边界条件下有界弦的自由振动 分离变量法 90
4.2 解的存在性 93
4.3 解的物理意义 100
4.4 齐次定解条件下有界弦的受迫振动 齐次化原理 102
4.5 非齐次边界条件下非齐次方程的混合问题边界条件的齐次化 104
4.6 分离变量法的进一步应用举例——矩形膜的横振动 106
练习2-4 109
5.1 二维波动方程的能量积分 能量不等式 混合问题解的唯一性与对初始条件的连续依赖性 110
5 波动方程定解问题解的唯一性与对初始条件的连续依赖性 110
5.2 波动方程初值问题解的唯一性与对初始条件的连续依赖性 117
习题2 123
第三章 热传导方程 129
1 有界域上的混合问题和分离变量法 129
1.1 齐次边界条件下齐次热传导方程混合问题的分离变量法 130
1.2 解的存在性 132
1.3 齐次决定解条件下非齐次热传导方程的混合问题 齐次化原理 134
1.4 边界条件的齐次化 135
练习3-1 137
2 Fourier变换和Laplace变换 138
2.1 Fourier积分和Fourier变换 138
2.2 Laplace变换 143
2.3 Fourier变换和Laplace变换的基本性质 148
3.1 应用Fourier变换解初值问题 154
练习3-2 154
3 Fourier变换和Laplace变换的应用 154
3.2 解的存在性 157
3.3 应用Laplace变换解半无界域上的混合问题 162
4 极值原理与解的唯一性和稳定性 164
4.1 极值原理 164
4.2 混合问题解的唯一性和稳定性 166
4.3 初值问题解的唯一性和稳定性 167
习题3 170
第四章 Laplace方程 176
1 定解问题的提法 176
练习4-1 179
2 分离变量法 180
2.1 矩形区域上的Dirichlet问题 180
2.2 圆上的Dirichlet问题 184
2.3 Poisson方程的Dirichlet问题 192
练习4-2 194
3 基本解 Green公式与Green函数 195
3.1 基本解 195
3.2 Green公式与调和函数的积分表达式 195
3.3 Green函数 199
练习4-3 210
4 调和函数的基本性质 边值问题 解的唯一性和稳定性 210
4.1 三维空间区域上调和函数的基本性质 210
4.2 边值问题解的唯一性和稳定性 213
4.3 调和函数的另外一些重要性质 219
5 一般区域上的Dirichlet问题解的存在证明(Perron方法) 224
5.1 上(下)调和函数与上(下)函数及其性质 224
5.2 上函数集的下确界的调和性 228
5.3 Dirichlet问题的解 231
6 Poisson方程的Dirichlet问题的解 233
习题4 239
1 实值解析函数与优函数 243
附录Ⅰ1 Cauchy-Ковалевская定理 243
2 常微分方程的解析解 246
3 Cauchy-Кова.левская定理——一阶偏微分方程情况 249
4 Cauchy-Кова.левская定理——高阶偏微分方程情况 256
附录Ⅱ 特殊函数(一)Bessel函数 260
1 Bessel方程的引入 260
2 Bessel方程的解 261
3 Bessel函数的递推公式 265
4 Bessel函数的生成函数和积分形式 268
5 Bessel函数的零点 270
6 Bessel函数的正交性 271
7 Bessel函数对边值问题的应用 274
附录Ⅱ2 特殊函数(二)Legendre多项式 278
1 Legendre方程的引入 278
2 Legendre方程的求解 280
3 Legendre多项式 281
4 Legendre多项式的Rodrigues表达式 284
5 Pn(X)的生成函数 286
6 Legendre多项式Pn(X)的正交性 289
7 Legendre多项式的应用——球形域内的电势分布 291
附录Ⅲ Fourier变换表和Laplace变换表 294
附录Ⅳ 历史简介 296
1 弦振动方程与分离变量法 296
2 热传导方程与Fourier级数 300
3 Laplace方程与势论 305
4 Cauchy-Ковалевская定理 312
5 Fourier积分 314
6 新发展素描 318
文献 327
练习与习题参考答案与提示 328
索引 349