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第一章 引言 1

1 方程的推导 1

1.1 均匀弦的横振动与波动方程 1

1.2 热传导方程 5

1.3 Laplace方程和Poisson方程 9

练习1-1 10

2 偏微分方程的一些定义 11

3 定解条件与定解问题 12

练习1-2 12

3.1 弦振动方程的初始条件和边界条件 13

3.2 热传导方程的初始条件和边界条件 17

3.3 定解问题的提法 19

练习1-3 20

4 两个自变量的二阶线性方程的分类与化简 21

4.1 两个自变量的二阶线性方程的分类 22

4.2 两个自变量的二阶线性方程的化简 24

5 多个自变量的二阶线性方程的分类 32

练习1-4 32

练习1-5 38

6 定解问题的适定性 38

6.1 定解问题的适定性概念 38

6.2 不适定问题举例 41

6.3 不适定问题有待研究 43

习题1 44

第二章 波动方程 47

1 弦振动方程的初值问题 47

1.1 无界弦的自由振动 d Alembert公式 47

1.2 波的传播 依赖区域决定区域和影响区域 49

1.3 迭加原理 55

1.4 无界弦的受迫振动 57

1.5 齐次化原理(Duhamel原理) 61

练习2-1 64

2.1 三维齐次波动方程初值问题的球平均法 65

2 高维波动方程的初值问题 65

2.2 三维非齐次波动方程初值问题的解推迟势 71

2.3 二维波动方程初值问题的降维法 73

2.4 依赖区域 决定区域 影响区域与特征锥 76

2.5 三维波与二维波在传播上的区别 Huygens原理 波的弥散 80

练习2-2 83

3 半无界弦的混合问题 84

练习2-3 89

4 有界域上混合问题的分离变量法 89

4.1 齐次边界条件下有界弦的自由振动 分离变量法 90

4.2 解的存在性 93

4.3 解的物理意义 100

4.4 齐次定解条件下有界弦的受迫振动 齐次化原理 102

4.5 非齐次边界条件下非齐次方程的混合问题边界条件的齐次化 104

4.6 分离变量法的进一步应用举例——矩形膜的横振动 106

练习2-4 109

5.1 二维波动方程的能量积分 能量不等式 混合问题解的唯一性与对初始条件的连续依赖性 110

5 波动方程定解问题解的唯一性与对初始条件的连续依赖性 110

5.2 波动方程初值问题解的唯一性与对初始条件的连续依赖性 117

习题2 123

第三章 热传导方程 129

1 有界域上的混合问题和分离变量法 129

1.1 齐次边界条件下齐次热传导方程混合问题的分离变量法 130

1.2 解的存在性 132

1.3 齐次决定解条件下非齐次热传导方程的混合问题 齐次化原理 134

1.4 边界条件的齐次化 135

练习3-1 137

2 Fourier变换和Laplace变换 138

2.1 Fourier积分和Fourier变换 138

2.2 Laplace变换 143

2.3 Fourier变换和Laplace变换的基本性质 148

3.1 应用Fourier变换解初值问题 154

练习3-2 154

3 Fourier变换和Laplace变换的应用 154

3.2 解的存在性 157

3.3 应用Laplace变换解半无界域上的混合问题 162

4 极值原理与解的唯一性和稳定性 164

4.1 极值原理 164

4.2 混合问题解的唯一性和稳定性 166

4.3 初值问题解的唯一性和稳定性 167

习题3 170

第四章 Laplace方程 176

1 定解问题的提法 176

练习4-1 179

2 分离变量法 180

2.1 矩形区域上的Dirichlet问题 180

2.2 圆上的Dirichlet问题 184

2.3 Poisson方程的Dirichlet问题 192

练习4-2 194

3 基本解 Green公式与Green函数 195

3.1 基本解 195

3.2 Green公式与调和函数的积分表达式 195

3.3 Green函数 199

练习4-3 210

4 调和函数的基本性质 边值问题 解的唯一性和稳定性 210

4.1 三维空间区域上调和函数的基本性质 210

4.2 边值问题解的唯一性和稳定性 213

4.3 调和函数的另外一些重要性质 219

5 一般区域上的Dirichlet问题解的存在证明(Perron方法) 224

5.1 上(下)调和函数与上(下)函数及其性质 224

5.2 上函数集的下确界的调和性 228

5.3 Dirichlet问题的解 231

6 Poisson方程的Dirichlet问题的解 233

习题4 239

1 实值解析函数与优函数 243

附录Ⅰ1 Cauchy-Ковалевская定理 243

2 常微分方程的解析解 246

3 Cauchy-Кова.левская定理——一阶偏微分方程情况 249

4 Cauchy-Кова.левская定理——高阶偏微分方程情况 256

附录Ⅱ 特殊函数(一)Bessel函数 260

1 Bessel方程的引入 260

2 Bessel方程的解 261

3 Bessel函数的递推公式 265

4 Bessel函数的生成函数和积分形式 268

5 Bessel函数的零点 270

6 Bessel函数的正交性 271

7 Bessel函数对边值问题的应用 274

附录Ⅱ2 特殊函数(二)Legendre多项式 278

1 Legendre方程的引入 278

2 Legendre方程的求解 280

3 Legendre多项式 281

4 Legendre多项式的Rodrigues表达式 284

5 Pn(X)的生成函数 286

6 Legendre多项式Pn(X)的正交性 289

7 Legendre多项式的应用——球形域内的电势分布 291

附录Ⅲ Fourier变换表和Laplace变换表 294

附录Ⅳ 历史简介 296

1 弦振动方程与分离变量法 296

2 热传导方程与Fourier级数 300

3 Laplace方程与势论 305

4 Cauchy-Ковалевская定理 312

5 Fourier积分 314

6 新发展素描 318

文献 327

练习与习题参考答案与提示 328

索引 349