引言 1
第一章 典型方程典型定解问题 6
1 热传导方程及其定解问题 6
1.1 热传导问题的提出 6
1.2 热传导方程 7
1.3 热传导方程的定解条件 10
1.4 热传导方程的典型定解问题 13
1.5 低维热传导方程及其定解问题 15
2 波动方程及其定解问题 17
2.1 波动方程的物理背景 17
2.2 弦的微小横振动方程 18
2.3 弦振动方程的定解条件 22
2.4 弦振动方程典型定解问题 25
2.5 二维和三维波动问题 26
3 位势方程及其定解问题 28
3.1 位势方程 28
3.2 定解问题 29
4 衔接条件、适定性概念和方程分类 31
4.1 衔接条件 31
4.2 适定性概念 34
4.3 二阶线性偏微分方程分类大意 35
习题 38
1 迭加原理 42
1.1 方程型的迭加原理 42
第二章 分离变量法 42
1.2 定解问题型的迭加原理 45
2 分离变量法 46
2.1 分离变量法的物理思想 46
2.2 分离变量法及其解题步骤 50
2.3 应用举例 56
2.4 形式解为真解的条件 60
3 解的物理意义和驻波法的名称 62
3.1 固有频率 62
3.2 驻波 64
4 解齐定解问题的本征函数展开法 68
4.1 定解问题的本征函数系 68
4.2 本征函数展开法 70
5 解非齐问题的本征函数展开法 78
5.1 弦振动非齐问题的解 78
5.2 本征函数展开法 84
6 分离变量法求解中的灵活性 87
6.1 可化为分离变量法求解的定解问题 87
6.2 化非齐边值为齐边值的方法 95
6.3 一些特殊方法 100
7 解非齐问题的杜哈美原理 104
7.1 杜哈美原理 105
7.2 杜哈美原理的物理背景 107
7.3 杜哈美原理的应用 109
习题 113
1.1 基本定义 120
1 积分变换的一般概念 120
第三章 积分变换法 120
1.2 常见的积分变换 121
1.3 积分变换的作用 126
2 傅立叶积分公式 126
2.1 傅立叶积分公式的导出 126
2.2 傅立叶积分公式成立的充分条件 131
3 傅立叶变换 133
3.1 傅立叶变换的引出 133
3.2 傅立叶变换的概念 134
3.3 傅立叶变换的基本性质 135
3.4 多重傅立叶变换 140
4 傅立叶变换的应用 142
4.1 齐方程的初值问题 143
4.2 非齐方程的初值问题 145
4.3 半无界区间上的边值问题 147
5 拉普拉斯变换 152
5.1 拉普拉斯变换是怎样引进的 153
5.2 存在定理和乘法定理 156
5.3 反演公式和展开定理 162
5.4 拉氏变换的基本性质 183
6 拉氏变换的应用 195
6.1 四个象函数的原象函数 195
6.2 解初值问题 201
6.3 解无界域上的混合问题 207
6.4 解有界域上的混合问题 210
傅立叶变换表 212
拉普拉斯变换表 214
习题 219
第四章 格林函数法 228
1 δ--函数 228
1.1 δ--函数的定义 228
1.2 δ--函数的物理意义 229
1.3 δ--函数作为普通函数的弱极限 231
1.4 弱相等概念和δ--函数的性质 236
1.5 主维δ--函数 242
2 解初值问题的格林函数法 243
2.1 基本思想 243
2.2 解一维初值问题的格林函数法 245
2.3 解三维初值问题的格林函数法 251
2.4 解二维初值问题的降维法 256
3 解混合问题的格林函数法 256
3.1 格林函数的概念及其表达式 260
3.2 格林函数法 261
4 解泊松方程第一边值问题的格林函数法 262
4.1 格林第一公式和第二公式 262
4.2 点源场 264
4.3 格林函数 266
4.4 格林函数的物理意义 267
4.5 格林函数法 268
4.6 求格林函数的静电源象法 273
习题 285
第五章 变分原理与变分方法 294
1 单积分型泛函的变分问题 295
1.1 模型问题 295
1.2 变分问题的确切提法 297
1.3 变分原理--欧拉方程 301
1.4 变分概念 307
1.5 二阶变分和极值函数的充分条件 309
1.6 变分和记号及其运算性质 311
1.7 多个未知函数的变分问题 313
2 重积分型泛函的变分问题 317
2.1 极小曲面问题 317
2.2 变分问题及其原理 318
2.3 极小曲面问题的奥氏方程 322
2.4 J(u)的一阶变分 323
3 条件极值 325
3.1 等周问题 325
3.2 一般变分问题 326
3.3 等周问题的解 330
4 自然边值条件 332
4.1 变动端点问题的自然边值条件 332
4.2 变动边值问题的自然边值条件 336
4.3 更一般的泛函的自然边值条件 338
5 变分法与数学物理定解问题 342
5.1 极值原理 342
5.2 膜的微小横振动方程 343
6 边值问题与变分问题 347
6.1 变分方法的大意 347
6.2 常微边值问题对应的变分问题 347
6.3 泊松方程对应的变分问题 351
7 解变分问题的直接方法 353
7.1 直接方法的基本思想 353
7.2 作极小函数列的里兹方法 354
7.3 解变分问题的里兹方法 362
7.4 解变分问题的伽辽金方法 365
8 解本征值问题的变分方法 369
8.1 本征值和本征函数的一些性质 369
8.2 本征值问题与变分问题 372
8.3 本征值和本征函数的求法举例 375
习题 379
第六章 行波法 389
1 一维波动的传播公式 389
1.1 无界弦的自由振动 390
1.2 无界弦的强迫振动 392
2 波在空间的传播公式 393
2.1 球面波方程 393
2.2 三维空间的自由波动问题 394
2.3 推迟势 400
2.4 克希霍夫公式 403
2.5 二维波动问题的传播公式 404
3.1 特征概念 405
3 特征概念及其某些性质 405
3.2 特征的解析形式 409
3.3 解对特征锥底面上值的依赖 412
3.4 依赖域 决定域 影响域 416
4 波的物理性质 418
4.1 行波法的物理背景 418
4.2 只有初始位移的一维自由振动的传播 426
4.3 只有初始速度的一维自由振动的传播 430
4.4 空间波动传播的物理性质 435
习题 437
1 弦振动方程混合问题的解的唯一性 443
1.1 能量守恒原理 443
第七章 定解问题的唯一性与稳定性 443
1.2 唯一性定理 445
2 位势方程边值问题的适定性 448
2.1 调和函数的积分表达式 448
2.2 极值原理 451
2.3 唯一性与稳定性定理 455
2.4 可解性定理 457
3 热传导方程混合问题解的唯一性与稳定性 458
3.1 极值原理 458
3.2 唯一性与稳定性 460
4 不适定问题的例子 463
4.1 拉普拉斯方程的不适定例子 463
4.2 弦振动方程的不适定例子 463
5.1 解的概念应当推广 465
5 广义解 465
5.2 广义解的概念 467
5.3 广义解的进一步讨论 470
5.4 广义解的求法 473
习题 478
第八章 附录 482
1 电磁波传播方程和化标准型方法 482
1.1 电磁波传播方程 482
1.2 化标准型方法 483
2 傅立叶级数的逐项微商定理 490
2.1 展开定理及其推论 490
2.2 基本引理 491
2.3 逐项微商定理 496
3 形式解为真解的充分条件 497
3.1 第二章中的定理问题(2.1)--(2.3) 498
3.2 第二章中的定解问题(2.13)--(2.15) 499
3.3 第二章中的定解问题(6.1)--(6.2) 501
4 傅立叶积分公式 503
4.1 基本引理 503
4.2 傅立叶积分公式 504
5 存在唯一性和完全性 506
5.1 一个常微边值问题解的存在唯一性 506
5.2 一个完全性的证明 508
5.3 J(yn)的极小值点的存在证明 510
提示和答案 513