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引言 1

第一章 典型方程典型定解问题 6

1 热传导方程及其定解问题 6

1.1 热传导问题的提出 6

1.2 热传导方程 7

1.3 热传导方程的定解条件 10

1.4 热传导方程的典型定解问题 13

1.5 低维热传导方程及其定解问题 15

2 波动方程及其定解问题 17

2.1 波动方程的物理背景 17

2.2 弦的微小横振动方程 18

2.3 弦振动方程的定解条件 22

2.4 弦振动方程典型定解问题 25

2.5 二维和三维波动问题 26

3 位势方程及其定解问题 28

3.1 位势方程 28

3.2 定解问题 29

4 衔接条件、适定性概念和方程分类 31

4.1 衔接条件 31

4.2 适定性概念 34

4.3 二阶线性偏微分方程分类大意 35

习题 38

1 迭加原理 42

1.1 方程型的迭加原理 42

第二章 分离变量法 42

1.2 定解问题型的迭加原理 45

2 分离变量法 46

2.1 分离变量法的物理思想 46

2.2 分离变量法及其解题步骤 50

2.3 应用举例 56

2.4 形式解为真解的条件 60

3 解的物理意义和驻波法的名称 62

3.1 固有频率 62

3.2 驻波 64

4 解齐定解问题的本征函数展开法 68

4.1 定解问题的本征函数系 68

4.2 本征函数展开法 70

5 解非齐问题的本征函数展开法 78

5.1 弦振动非齐问题的解 78

5.2 本征函数展开法 84

6 分离变量法求解中的灵活性 87

6.1 可化为分离变量法求解的定解问题 87

6.2 化非齐边值为齐边值的方法 95

6.3 一些特殊方法 100

7 解非齐问题的杜哈美原理 104

7.1 杜哈美原理 105

7.2 杜哈美原理的物理背景 107

7.3 杜哈美原理的应用 109

习题 113

1.1 基本定义 120

1 积分变换的一般概念 120

第三章 积分变换法 120

1.2 常见的积分变换 121

1.3 积分变换的作用 126

2 傅立叶积分公式 126

2.1 傅立叶积分公式的导出 126

2.2 傅立叶积分公式成立的充分条件 131

3 傅立叶变换 133

3.1 傅立叶变换的引出 133

3.2 傅立叶变换的概念 134

3.3 傅立叶变换的基本性质 135

3.4 多重傅立叶变换 140

4 傅立叶变换的应用 142

4.1 齐方程的初值问题 143

4.2 非齐方程的初值问题 145

4.3 半无界区间上的边值问题 147

5 拉普拉斯变换 152

5.1 拉普拉斯变换是怎样引进的 153

5.2 存在定理和乘法定理 156

5.3 反演公式和展开定理 162

5.4 拉氏变换的基本性质 183

6 拉氏变换的应用 195

6.1 四个象函数的原象函数 195

6.2 解初值问题 201

6.3 解无界域上的混合问题 207

6.4 解有界域上的混合问题 210

傅立叶变换表 212

拉普拉斯变换表 214

习题 219

第四章 格林函数法 228

1 δ--函数 228

1.1 δ--函数的定义 228

1.2 δ--函数的物理意义 229

1.3 δ--函数作为普通函数的弱极限 231

1.4 弱相等概念和δ--函数的性质 236

1.5 主维δ--函数 242

2 解初值问题的格林函数法 243

2.1 基本思想 243

2.2 解一维初值问题的格林函数法 245

2.3 解三维初值问题的格林函数法 251

2.4 解二维初值问题的降维法 256

3 解混合问题的格林函数法 256

3.1 格林函数的概念及其表达式 260

3.2 格林函数法 261

4 解泊松方程第一边值问题的格林函数法 262

4.1 格林第一公式和第二公式 262

4.2 点源场 264

4.3 格林函数 266

4.4 格林函数的物理意义 267

4.5 格林函数法 268

4.6 求格林函数的静电源象法 273

习题 285

第五章 变分原理与变分方法 294

1 单积分型泛函的变分问题 295

1.1 模型问题 295

1.2 变分问题的确切提法 297

1.3 变分原理--欧拉方程 301

1.4 变分概念 307

1.5 二阶变分和极值函数的充分条件 309

1.6 变分和记号及其运算性质 311

1.7 多个未知函数的变分问题 313

2 重积分型泛函的变分问题 317

2.1 极小曲面问题 317

2.2 变分问题及其原理 318

2.3 极小曲面问题的奥氏方程 322

2.4 J(u)的一阶变分 323

3 条件极值 325

3.1 等周问题 325

3.2 一般变分问题 326

3.3 等周问题的解 330

4 自然边值条件 332

4.1 变动端点问题的自然边值条件 332

4.2 变动边值问题的自然边值条件 336

4.3 更一般的泛函的自然边值条件 338

5 变分法与数学物理定解问题 342

5.1 极值原理 342

5.2 膜的微小横振动方程 343

6 边值问题与变分问题 347

6.1 变分方法的大意 347

6.2 常微边值问题对应的变分问题 347

6.3 泊松方程对应的变分问题 351

7 解变分问题的直接方法 353

7.1 直接方法的基本思想 353

7.2 作极小函数列的里兹方法 354

7.3 解变分问题的里兹方法 362

7.4 解变分问题的伽辽金方法 365

8 解本征值问题的变分方法 369

8.1 本征值和本征函数的一些性质 369

8.2 本征值问题与变分问题 372

8.3 本征值和本征函数的求法举例 375

习题 379

第六章 行波法 389

1 一维波动的传播公式 389

1.1 无界弦的自由振动 390

1.2 无界弦的强迫振动 392

2 波在空间的传播公式 393

2.1 球面波方程 393

2.2 三维空间的自由波动问题 394

2.3 推迟势 400

2.4 克希霍夫公式 403

2.5 二维波动问题的传播公式 404

3.1 特征概念 405

3 特征概念及其某些性质 405

3.2 特征的解析形式 409

3.3 解对特征锥底面上值的依赖 412

3.4 依赖域 决定域 影响域 416

4 波的物理性质 418

4.1 行波法的物理背景 418

4.2 只有初始位移的一维自由振动的传播 426

4.3 只有初始速度的一维自由振动的传播 430

4.4 空间波动传播的物理性质 435

习题 437

1 弦振动方程混合问题的解的唯一性 443

1.1 能量守恒原理 443

第七章 定解问题的唯一性与稳定性 443

1.2 唯一性定理 445

2 位势方程边值问题的适定性 448

2.1 调和函数的积分表达式 448

2.2 极值原理 451

2.3 唯一性与稳定性定理 455

2.4 可解性定理 457

3 热传导方程混合问题解的唯一性与稳定性 458

3.1 极值原理 458

3.2 唯一性与稳定性 460

4 不适定问题的例子 463

4.1 拉普拉斯方程的不适定例子 463

4.2 弦振动方程的不适定例子 463

5.1 解的概念应当推广 465

5 广义解 465

5.2 广义解的概念 467

5.3 广义解的进一步讨论 470

5.4 广义解的求法 473

习题 478

第八章 附录 482

1 电磁波传播方程和化标准型方法 482

1.1 电磁波传播方程 482

1.2 化标准型方法 483

2 傅立叶级数的逐项微商定理 490

2.1 展开定理及其推论 490

2.2 基本引理 491

2.3 逐项微商定理 496

3 形式解为真解的充分条件 497

3.1 第二章中的定理问题(2.1)--(2.3) 498

3.2 第二章中的定解问题(2.13)--(2.15) 499

3.3 第二章中的定解问题(6.1)--(6.2) 501

4 傅立叶积分公式 503

4.1 基本引理 503

4.2 傅立叶积分公式 504

5 存在唯一性和完全性 506

5.1 一个常微边值问题解的存在唯一性 506

5.2 一个完全性的证明 508

5.3 J(yn)的极小值点的存在证明 510

提示和答案 513