第一章 欧氏平面上的正交变换和仿射变换 1
1 点变换 1
1.1 点变换的定义 1
1.2 变换的乘积 6
1.3 恒等变换与逆变换 8
习题? 10
2 正交变换 10
2.1 正交变换的定义 10
2.2 正交变换的代数表示式 12
习题二 17
3 仿射变换 18
3.1 透视仿射对应 18
3.2 仿射对应与仿射变换 21
3.3 仿射坐标系 24
3.4 仿射变换的代数表示式 29
3.5 几种特殊的仿射变换 36
习题三 38
本章小结 39
复习思考题 40
第二章 射影平面 42
1 中心射影与无穷远元素 42
1.1 中心射影 42
1.2 无穷远元素 44
2 射影直线和射影平面 47
2.1 仿射直线和仿射平面 47
2.2 射影直线和射影平面 49
2.3 图形的射影性质 51
2.4 利用投影到无穷远证明初等几何问题 54
习题一 56
3 笛沙格(Desargues)定理 56
习题二 61
4 对偶原则 63
4.1 对偶图形 64
4.2 对偶命题与对偶原则 68
习题三 70
5.1 齐次点坐标 71
5 齐次点坐标 71
5.2 直线的齐次坐标方程 74
5.3 齐次点坐标的应用 75
习题四 85
6 线坐标 86
6.1 齐次线坐标 87
6.2 非齐次线坐标 89
习题五 92
7 射影平面的进一步扩充——复元素 92
7.1 二维空间的复元素 93
7.2 二维共轭复元素 94
习题六 98
本章小结 98
复习思考题 100
第三章 射影变换和射影坐标 102
1 交比与调和比 102
1.1 点列的四点的交比与调和比 102
1.2 线束的四直线的交比与调和比 116
1.3 完全四点形与完全四线形的调和性 126
习题一 131
2 一维射影变换 133
2.1 一维基本形的透视对应 133
2.2 一维基本形的射影对应 136
2.3 一维射影变换 147
习题二 150
3 一维基本形的对合 151
习题三 159
4.1 非奇线性对应 160
4 二维射影变换 160
4.2 射影对应与非奇线性对应的等价性 163
4.3 二维射影变换及其不变元素 166
习题四 169
5 直线上和平面上的射影坐标系 170
5.1 直线上的射影坐标系 171
5.2 二维射影坐标系 175
习题五 179
本章小结 180
复习思考题 183
第四章 二次曲线的射影性质 185
1 二次曲线的射影定义 185
1.1 二阶曲线与二级曲线 185
1.2 二次曲线的射影定义 190
1.3 二阶曲线与二级曲线的关系 193
习题一 203
2 巴斯加(Pascal)定理和布利安桑(Brianchon)定理 204
3 极点、极线、配极原则 214
习题二 214
3.1 极点和极线的定义 215
3.2 配极原则 220
习题三 227
4 二次曲线的射影分类 228
4.1 二阶曲线的奇异点 228
4.2 二阶曲线的射影分类 232
本章小结 240
习题四 240
复习思考题 241
第五章 二次曲线的仿射性质 243
1 二阶曲线与无穷远直线的相关位置 244
2 二阶曲线的中心、直径、渐近线 245
2.1 中心 245
2.2 直径与共轭直径 247
2.3 渐近线 254
习题一 259
3 二次曲线的仿射分类 259
习题二 267
本章小结 267
复习思考题 268
第六章 二次曲线的度量性质 270
1 圆点和迷向直线 270
1.1 圆点和迷向直线的定义 270
1.2 圆点和迷向直线的性质 273
2 拉蓋尔(Laguerre)定理 276
习题一 276
习题二 280
3 二次曲线的主轴、焦点和准线 281
3.1 主轴 281
3.2 焦点和准线 287
习题三 295
4 二次曲线的度量分类 295
本章小结 297
复习思考题 298
第七章 变换群与几何学 300
1 变换群的概念 300
习题一 303
2 平面上的几个重要的变换群 303
2.1 射影变换群 303
2.2 仿射变换群 305
2.3 相似变换群 307
2.4 正交变换群 308
3.1 克莱因(F.Klein)的爱尔兰根(Erlangen)纲领 309
3 变换群与几何学 309
习题二 309
3.2 射影、仿射、欧氏三种几何的比较 312
习题三 317
本章小结 318
复习思考题 319
第八章 几何基础初步 320
1 公理法思想的产生 320
1.1 欧几里得的几何原本 320
1.2 关于第五公设 324
1.3 公理法思想 335
2 射影几何的公理体系 337
3 希尔伯脱(Hilbert)欧氏几何公理体系 341
4 罗氏几何介绍 344
4.1 高斯、波约伊和罗巴切夫斯基 344
4.2 罗氏平行公理及其推论 346
4.3 罗氏平面的模型 354
本章小结 356
复习思考题 356