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第一章 欧氏平面上的正交变换和仿射变换 1

1 点变换 1

1.1 点变换的定义 1

1.2 变换的乘积 6

1.3 恒等变换与逆变换 8

习题? 10

2 正交变换 10

2.1 正交变换的定义 10

2.2 正交变换的代数表示式 12

习题二 17

3 仿射变换 18

3.1 透视仿射对应 18

3.2 仿射对应与仿射变换 21

3.3 仿射坐标系 24

3.4 仿射变换的代数表示式 29

3.5 几种特殊的仿射变换 36

习题三 38

本章小结 39

复习思考题 40

第二章 射影平面 42

1 中心射影与无穷远元素 42

1.1 中心射影 42

1.2 无穷远元素 44

2 射影直线和射影平面 47

2.1 仿射直线和仿射平面 47

2.2 射影直线和射影平面 49

2.3 图形的射影性质 51

2.4 利用投影到无穷远证明初等几何问题 54

习题一 56

3 笛沙格(Desargues)定理 56

习题二 61

4 对偶原则 63

4.1 对偶图形 64

4.2 对偶命题与对偶原则 68

习题三 70

5.1 齐次点坐标 71

5 齐次点坐标 71

5.2 直线的齐次坐标方程 74

5.3 齐次点坐标的应用 75

习题四 85

6 线坐标 86

6.1 齐次线坐标 87

6.2 非齐次线坐标 89

习题五 92

7 射影平面的进一步扩充——复元素 92

7.1 二维空间的复元素 93

7.2 二维共轭复元素 94

习题六 98

本章小结 98

复习思考题 100

第三章 射影变换和射影坐标 102

1 交比与调和比 102

1.1 点列的四点的交比与调和比 102

1.2 线束的四直线的交比与调和比 116

1.3 完全四点形与完全四线形的调和性 126

习题一 131

2 一维射影变换 133

2.1 一维基本形的透视对应 133

2.2 一维基本形的射影对应 136

2.3 一维射影变换 147

习题二 150

3 一维基本形的对合 151

习题三 159

4.1 非奇线性对应 160

4 二维射影变换 160

4.2 射影对应与非奇线性对应的等价性 163

4.3 二维射影变换及其不变元素 166

习题四 169

5 直线上和平面上的射影坐标系 170

5.1 直线上的射影坐标系 171

5.2 二维射影坐标系 175

习题五 179

本章小结 180

复习思考题 183

第四章 二次曲线的射影性质 185

1 二次曲线的射影定义 185

1.1 二阶曲线与二级曲线 185

1.2 二次曲线的射影定义 190

1.3 二阶曲线与二级曲线的关系 193

习题一 203

2 巴斯加(Pascal)定理和布利安桑(Brianchon)定理 204

3 极点、极线、配极原则 214

习题二 214

3.1 极点和极线的定义 215

3.2 配极原则 220

习题三 227

4 二次曲线的射影分类 228

4.1 二阶曲线的奇异点 228

4.2 二阶曲线的射影分类 232

本章小结 240

习题四 240

复习思考题 241

第五章 二次曲线的仿射性质 243

1 二阶曲线与无穷远直线的相关位置 244

2 二阶曲线的中心、直径、渐近线 245

2.1 中心 245

2.2 直径与共轭直径 247

2.3 渐近线 254

习题一 259

3 二次曲线的仿射分类 259

习题二 267

本章小结 267

复习思考题 268

第六章 二次曲线的度量性质 270

1 圆点和迷向直线 270

1.1 圆点和迷向直线的定义 270

1.2 圆点和迷向直线的性质 273

2 拉蓋尔(Laguerre)定理 276

习题一 276

习题二 280

3 二次曲线的主轴、焦点和准线 281

3.1 主轴 281

3.2 焦点和准线 287

习题三 295

4 二次曲线的度量分类 295

本章小结 297

复习思考题 298

第七章 变换群与几何学 300

1 变换群的概念 300

习题一 303

2 平面上的几个重要的变换群 303

2.1 射影变换群 303

2.2 仿射变换群 305

2.3 相似变换群 307

2.4 正交变换群 308

3.1 克莱因(F.Klein)的爱尔兰根(Erlangen)纲领 309

3 变换群与几何学 309

习题二 309

3.2 射影、仿射、欧氏三种几何的比较 312

习题三 317

本章小结 318

复习思考题 319

第八章 几何基础初步 320

1 公理法思想的产生 320

1.1 欧几里得的几何原本 320

1.2 关于第五公设 324

1.3 公理法思想 335

2 射影几何的公理体系 337

3 希尔伯脱(Hilbert)欧氏几何公理体系 341

4 罗氏几何介绍 344

4.1 高斯、波约伊和罗巴切夫斯基 344

4.2 罗氏平行公理及其推论 346

4.3 罗氏平面的模型 354

本章小结 356

复习思考题 356