第一部分 刚性常微分方程数值解法 1
第一章 初值问题数值方法的基本理论 1
1 引言 1
2 相容性、收敛性与稳定性 4
2.1 相容性与收敛性 4
2.2 稳定性与收敛性 8
3 线性多步法的一般理论 13
3.1 多步法公式的阶与误差常数 13
3.2 收敛性与稳定性 19
3.3 误差估计 23
4 绝对稳定性与绝对稳定域 27
4.1 绝对稳定性 27
4.2 绝对稳定域 32
4.3 边界轨迹法 35
附录 线性差分方程 37
习题 40
第二章 刚性常微分方程与线性多步法 43
1 刚性常微分方程 43
2 刚性方程的稳定性概念 49
3 线性多步法的稳定性 53
3.1 线性多步法的 A 稳定性 54
3.2 线性多步法的 A(a)稳定性与 A0稳定性 59
3.3 线性多步法的刚性稳定性 63
4 解刚性方程的线性多步法 64
4.1 向后差分公式 64
4.2 改进的向后差分方法 67
4.3 含二阶导数的线性多步法 70
5.1 隐性问题与解非线性方程组的迭代法 73
5 求解刚性方程数值方法的具体实现 73
5.2 向后差分公式的数值实现 75
5.3 数值例题与方法比较 77
5.4 解刚性方程的计算危险性问题 80
习题 84
第三章 隐式 Runge-Kutta 方法 87
1 隐式 RK 方法的建立 87
1.1 RK 方法的一般结构 87
1.2 基于数值求积的隐式 RK 方法 89
2 隐式 RK 方法的 A 稳定性 98
2.1 稳定性函数 98
2.2 ez 的 Pad？逼近与可接受性 100
3.1 B 稳定性与代数稳定性 104
3 隐式 RK 方法的其他稳定性 104
3.2 几种稳定性概念的相互关系 109
4 隐式 RK 方法的实现 114
4.1 RK 方法中非线性方程组解的存在唯一性 115
4.2 修改的 Newton 迭代法 116
4.3 数值例题 119
5 对角隐式与半隐式方法 121
5.1 对角隐式 RK 方法 121
5.2 半隐式 RK 方法 123
习题 127
第四章 解刚性方程的其他方法 131
1 指数拟合法 131
2.1 方法的基本思想 137
2 Richardson 外插法 137
2.2 梯形法的整体外插 139
2.3 隐式中点公式的外插法 143
2.4 梯形法的局部外插 145
3 非线性方法 149
3.1 逆 Euler 法 149
3.2 多步非线性方法 150
3.3 Runge-Kutta 型方法 153
4 边界层方法 153
4.1 奇异摄动问题解的渐近展开 153
4.2 边界层型数值方法 158
4.3 不依赖小参数的方法 162
习题 167
1 引言 169
第五章 打靶法 169
第二部分 边值问题数值解法 169
2 单点打靶法 171
2.1 打靶法基本思想 171
2.2 线性边值问题打靶法 172
3 非线性问题与 Newton 型迭代法 177
3.1 Newton 迭代打靶法 177
3.2 Newton 法收敛性与误差分析 180
3.3 Newton 型迭代法与 Broyden 打靶法 185
4 并行打靶法 191
4.1 线性问题并行打靶法 191
4.2 非线性问题并行打靶法 193
习题 198
1 连续法基本思想 200
第六章 连续法与不变嵌入法 200
2 解边值问题的连续法 205
2.1 两种微分算子方程 205
2.2 解带参数方程的双层格式 209
2.3 参数摄动法 212
3 不变嵌入法 214
3.1 线性边值问题不变嵌入法 215
3.2 非线性边值问题不变嵌入法 218
习题 223
第七章 有限差分法 226
1 引言 226
2 线性边值问题的差分方法 228
3 两点格式差分方程的解法 234
4 非线性问题差分方法 238
习题 245
第八章 特征值问题与奇异问题 247
1 特征值问题数值方法 247
1.1 特征值问题 247
1.2 特征值问题打靶法 249
1.3 特征值问题有限差分法 251
1.4 非线性特征值问题 255
2 正则奇点边值问题 258
3 半无穷区间边值问题 262
4 奇异摄动问题数值方法 265
习题 268
参考文献 271