第一章 向量函数 1
1 向量代数 1
1-1 基本概念 1
1-2 向量的代数运算 2
1-3 一些常用的结论和计算公式 5
2 直线与平面 6
3 向量函数 8
3-1 向量函数的概念 8
3-2 向量函数的极限 9
3-3 向量函数的连续性 11
3-4 向量函数的微商 11
3-5 向量函数的泰勒公式 14
3-6 向量函数的积分 16
4 几种具有特殊性质的向量函数 19
第二章 曲线的局部理论 22
1 曲线的基本概念 22
1-1 曲线的基本概念 22
1-2 光滑曲线与正则曲线 23
1-3 曲线的弧长与自然参数 26
2 曲线的基本三棱形 31
2-1 曲线的切线与法面 31
2-2 曲线的密切面与副法线 34
2-3 曲线的基本三棱形 37
3 空间曲线论的基本公式 42
3-1 空间曲线的曲率 42
3-2 空间曲线的挠率 45
3-3 空间曲线论的基本公式 47
3-4 空间曲线在一点邻近的结构 50
4 空间曲线论基本定理 54
第三章 特殊曲线 60
1 平面曲线 60
2 柱面螺线 63
3 曲线的渐伸线与渐缩线 65
3-1 曲线的渐伸线 65
3-2 曲线的渐缩线 67
4 贝特朗曲线 68
第四章 曲面的第一基本形式 73
1 基本概念 73
1-1 曲面的定义与方程 73
1-2 参数变换 77
1-3 曲面上的曲线 78
1-4 曲面的切平面和法线 81
1-5 曲面的定向 84
2 第一基本形式 85
2-1 第一基本形式 85
2-2 曲面上曲线的弧长 87
2-3 曲面上曲线的交角 88
2-4 曲面上的正交曲线网 90
2-5 曲面域的面积、内蕴量和内蕴性 91
3 曲面间的映射 93
3-1 映射的概念 93
3-2 等距映射 94
3-3 等角映射 96
第五章 曲面的第二基本形式 101
1 第二基本形式 101
2 法曲率 104
3 杜潘标线 渐近方向 共轭方向 主方向 108
3-1 杜潘标线 108
3-2 渐近方向、共轭方向、主方向 109
3-3 主曲率、高斯曲率、平均曲率 113
4 曲面上的特殊曲线与曲线网 116
4-1 渐近曲线、渐近曲线网、共轭曲线网 116
4-2 曲率线与曲率线网 118
5 曲面在一点邻近的结构 121
6 高斯映射与第三基本形式 123
6-1 高斯映射、第三基本形式 123
6-2 高斯曲率的几何意义 125
第六章 曲面论的基本定理 128
1 曲面的基本公式 129
2 曲面的基本方程 134
2-1 曲面基本方程的推导 134
2-2 高斯曲率的内蕴性质 137
3 曲面论基本定理的证明 142
第七章 曲面上的测地线 149
1 曲面上曲线的测地曲率 149
1-1 测地曲率的概念 149
1-2 测地曲率的计算公式 151
2 曲面上的测地线 155
2-1 测地线及其性质 155
2-2 测地线的方程 156
2-3 曲面上的半测地坐标网 159
2-4 曲面上测地线的短程性 161
3 测地挠率 163
3-1 测地挠率 164
3-2 曲面曲线的一种动标三棱形 165
4 曲面上向量的平行移动 167
4-1 曲面上的向量场与绝对微分 167
4-2 平行向量场 170
4-3 向量的平行移动 172
5 高斯-波涅公式 176
第八章 特殊曲面 181
1 可展曲面 181
1-1 直纹面 181
1-2 可展曲面及其分类 182
1-3 可展曲面作为单参数平面族的包络面 184
1-4 可展曲面的重要定理和有关命题 189
2 极小曲面 194
2-1 极小曲面的定义与有关性质 194
2-2 极小曲面的几何特征 197
3 具有常高斯曲率的曲面 201
3-1 常高斯曲率曲面 201
3-2 伪球率曲面、伪球面 203
3-3 伪球率曲面上的测地圆 207
3-4 罗氏几何 209
第九章 外微分形式与活动标架 213
1 外形式与外代数 213
1-1 格拉斯曼外代数 213
1-2 外微分形式 217
1-3 发甫方程与可积条件 222
2 变换群与活动标架 223
2-1 合同变换与标架 223
2-2 合同变换群与微分不变式 225
2-3 相对分量与结构方程 226
2-4 活动标架基本定理 230
3 活动标架法的应用 231
3-1 曲线论基本公式 231
3-2 曲面的结构方程 232
3-3 曲面的基本形式 233
3-4 法曲率与测地曲率 234
3-5 主曲率与欧拉公式 235
3-6 向量的平行移动 237
3-7 高斯-波涅定理 239
第十章 曲线与曲面的整体性质 243
1 平面曲线的整体性质 243
1-1 闭曲线的全曲率 243
1-2 旋转指标 245
1-3 等周不等式 247
1-4 凸曲线 249
1-5 卵形线 251
1-6 等宽曲线 252
1-7 平面直线集的测度与应用 253
2 空间曲线的整体性质 257
2-1 定向大圆集的测度 257
2-2 简单闭曲线的全曲率 259
2-3 有结曲线的全曲率 262
2-4 球面闭曲线的全挠率 264
3 简单曲面与卵形面 266
3-1 简单曲面与光滑曲面 266
3-2 定向曲面与紧致曲面 268
3-3 凸曲面与卵形面 270
3-4 刚性曲面与 W 曲面 271
3-5 极小曲面与唯一性问题 279
4 紧致曲面与示性数 281
4-1 亏格与示性数 281
4-2 高斯-波涅定理 283
4-3 向量场的奇点与指标 286
4-4 线素场与映射度 289
第十一章 应用微分几何简介 296
1 应用曲线论 296
1-1 向量工具的应用 296
1-2 数控切割与偏差比较 297
1-3 发动机缸体的新型线 298
1-4 变压器铁芯设计 300
1-5 环状 DNA 分子的勾数与拧数 301
1-6 曲线的拟合与设计 303
2 应用曲面论 309
2-1 蜗杆齿面与斜齿面 309
2-2 齿轮啮合 310
2-3 管道交线 313
2-4 外板展开 314
2-5 曲面的拟合与设计 316
习题答案、提示与解答 324