绪论 1
第一章 波动方程 9
1 一维波动方程的导出 9
1.1 方程的导出 9
1.2 定解条件 15
1.3 定解问题 17
1.4 定解问题的适定性 18
习题一 20
2 Cauchy问题 21
2.1 D Alembert解法 22
2.2 波的传播 26
2.3 依赖区域，决定区域与影响区域 30
2.4 Duhamel原理 31
2.5 半无界问题 37
习题二 46
3 混合问题 49
3.1 分离变量法 49
3.2 非齐次问题的处理 57
3.3 解的物理意义，谐振与共振 62
习题三 66
4 适定性讨论，能量不等式 69
4.1 混合问题 69
4.2 Cauchy问题 75
4.3 特征线与适定性 81
习题四 84
5 高维波动方程 86
5.1 Cauchy问题 86
5.2 混合问题 100
习题五 108
1 方程的导出与定解问题 110
1.1 方程的导出 110
第二章 热传导方程 110
1.2 定解问题的提法 114
1.3 热传导方程在柱坐标系与球坐标中的形式 116
习题六 117
2 混合问题 117
2.1 有界杆的热传导 118
2.2 非齐次问题的处理 121
2.3 二维混合问题 123
习题七 127
3 Fourier变换与Cauchy问题 129
3.1 Fourier变换的定义 129
3.2 Fourier变换的基本性质 135
3.3 用Fourier变换解Cauchy问题 142
3.4 多维Cauchy问题与Fourier变换简介 151
习题八 153
4.1 极值原理 156
4 极值原理 156
4.2 混合问题解的最大模估计 159
4.3 Cauchy问题解的最大模估计 163
4.4 热传导方程的一个不适定的例 165
习题九 166
第三章 位势方程 169
1 方程的导出与定解问题 169
1.1 方程的导出 169
1.2 定解问题的提法 173
习题十 174
2 极值原理 175
2.1 弱极值原理 175
2.2 强极值原理 180
2.3 最大模估计，解的唯一性与稳定性 185
2.4 能量模估计 189
习题十一 190
3.1 特殊区域上的Dirichlet问题 192
3 平面上Laplace方程的解 192
3.2 Neumann问题 203
3.3 解析函数与调合函数，保角变换与分式线性变换 205
3.4 用保角变换法求解平面上的Laplace方程的Dirichlet问题 207
习题十二 213
4 Green函数 215
4.1 Green公式，基本积分公式 215
4.2 Green函数及其性质 219
4.3 某些特殊区域上的Green函数 225
习题十三 234
第四章 二阶线性偏微分方程 236
1 三类古典方程的比较 236
2 两个自变量的二阶方程 239
2.1 方程的分类 239
2.2 特征方程与特征线 244
2.3 化二阶方程为标准型 246
3 多变量的二阶方程 250
3.1 方程的分类 250
3.2 特征理论 259
3.3 化多变量的二阶方程为标准型 265
习题十四 272
第五章 一阶偏微分方程组 275
1 引言 275
1.1 一阶偏微分方程组实例 275
1.2 高阶偏微分方程组 277
2 两个自变量的一阶线性偏微分方程组 280
2.1 特征理论 280
2.2 一阶线性偏微分方程组的分类 283
2.3 化狭义双曲组为对角型 284
习题十五 288
3 两个自变量的一阶线性双曲组的Cauchy问题 291
3.1 存在唯一性 291
3.2 一致稳定性 298
3.3 依赖区域、决定区域与影响区域 299
4 两个自变量的一阶线性双曲组的其它定解问题 300
4.1 广义Cauchy问题 302
4.2 Goursat问题 303
4.3 混合问题 304
习题十六 306
5 幂级数解法，Cauchy—Ковалевская定理 307
5.1 幂级数解法 307
5.2 Cauchy-Ковалевская定理 313
习题十七 321
第六章 广义函数与偏微分方程的基本解 323
1 广义函数的概念 323
1.1 引言 323
1.2 广义函数的概念 324
1.3 基本空间C∞(1Rn)，C∞(1Rn)，?(1Rn) 325
1.4 ?(1Rn)，?(1Rn)，?(1Rn)广义函数 330
2.2 广义函数的乘子 332
2 广义函数的性质与运算 332
2.1 广义函数的加法与数乘 332
2.3 关于自变量的平移与相似 333
2.4 广义函数的极限 334
2.5 广义函数的导数 336
2.6 广义函数的卷积 339
习题十八 340
3 广义函数的Fourier变换 342
3.1 ?(1Rn)上的Fourier变换 342
3.2 ?(1Rn)上的Fourier变换 346
4 基本解 350
4.1 基本解的概念 350
4.2 偏微分方程的基本解 351
4.3 Cauchy问题的基本解 360
习题十九 365
附录 Fourier变换表 366