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绪论 1

第一章 波动方程 9

1 一维波动方程的导出 9

1.1 方程的导出 9

1.2 定解条件 15

1.3 定解问题 17

1.4 定解问题的适定性 18

习题一 20

2 Cauchy问题 21

2.1 D Alembert解法 22

2.2 波的传播 26

2.3 依赖区域，决定区域与影响区域 30

2.4 Duhamel原理 31

2.5 半无界问题 37

习题二 46

3 混合问题 49

3.1 分离变量法 49

3.2 非齐次问题的处理 57

3.3 解的物理意义，谐振与共振 62

习题三 66

4 适定性讨论，能量不等式 69

4.1 混合问题 69

4.2 Cauchy问题 75

4.3 特征线与适定性 81

习题四 84

5 高维波动方程 86

5.1 Cauchy问题 86

5.2 混合问题 100

习题五 108

1 方程的导出与定解问题 110

1.1 方程的导出 110

第二章 热传导方程 110

1.2 定解问题的提法 114

1.3 热传导方程在柱坐标系与球坐标中的形式 116

习题六 117

2 混合问题 117

2.1 有界杆的热传导 118

2.2 非齐次问题的处理 121

2.3 二维混合问题 123

习题七 127

3 Fourier变换与Cauchy问题 129

3.1 Fourier变换的定义 129

3.2 Fourier变换的基本性质 135

3.3 用Fourier变换解Cauchy问题 142

3.4 多维Cauchy问题与Fourier变换简介 151

习题八 153

4.1 极值原理 156

4 极值原理 156

4.2 混合问题解的最大模估计 159

4.3 Cauchy问题解的最大模估计 163

4.4 热传导方程的一个不适定的例 165

习题九 166

第三章 位势方程 169

1 方程的导出与定解问题 169

1.1 方程的导出 169

1.2 定解问题的提法 173

习题十 174

2 极值原理 175

2.1 弱极值原理 175

2.2 强极值原理 180

2.3 最大模估计，解的唯一性与稳定性 185

2.4 能量模估计 189

习题十一 190

3.1 特殊区域上的Dirichlet问题 192

3 平面上Laplace方程的解 192

3.2 Neumann问题 203

3.3 解析函数与调合函数，保角变换与分式线性变换 205

3.4 用保角变换法求解平面上的Laplace方程的Dirichlet问题 207

习题十二 213

4 Green函数 215

4.1 Green公式，基本积分公式 215

4.2 Green函数及其性质 219

4.3 某些特殊区域上的Green函数 225

习题十三 234

第四章 二阶线性偏微分方程 236

1 三类古典方程的比较 236

2 两个自变量的二阶方程 239

2.1 方程的分类 239

2.2 特征方程与特征线 244

2.3 化二阶方程为标准型 246

3 多变量的二阶方程 250

3.1 方程的分类 250

3.2 特征理论 259

3.3 化多变量的二阶方程为标准型 265

习题十四 272

第五章 一阶偏微分方程组 275

1 引言 275

1.1 一阶偏微分方程组实例 275

1.2 高阶偏微分方程组 277

2 两个自变量的一阶线性偏微分方程组 280

2.1 特征理论 280

2.2 一阶线性偏微分方程组的分类 283

2.3 化狭义双曲组为对角型 284

习题十五 288

3 两个自变量的一阶线性双曲组的Cauchy问题 291

3.1 存在唯一性 291

3.2 一致稳定性 298

3.3 依赖区域、决定区域与影响区域 299

4 两个自变量的一阶线性双曲组的其它定解问题 300

4.1 广义Cauchy问题 302

4.2 Goursat问题 303

4.3 混合问题 304

习题十六 306

5 幂级数解法，Cauchy—Ковалевская定理 307

5.1 幂级数解法 307

5.2 Cauchy-Ковалевская定理 313

习题十七 321

第六章 广义函数与偏微分方程的基本解 323

1 广义函数的概念 323

1.1 引言 323

1.2 广义函数的概念 324

1.3 基本空间C∞(1Rn)，C∞(1Rn)，?(1Rn) 325

1.4 ?(1Rn)，?(1Rn)，?(1Rn)广义函数 330

2.2 广义函数的乘子 332

2 广义函数的性质与运算 332

2.1 广义函数的加法与数乘 332

2.3 关于自变量的平移与相似 333

2.4 广义函数的极限 334

2.5 广义函数的导数 336

2.6 广义函数的卷积 339

习题十八 340

3 广义函数的Fourier变换 342

3.1 ?(1Rn)上的Fourier变换 342

3.2 ?(1Rn)上的Fourier变换 346

4 基本解 350

4.1 基本解的概念 350

4.2 偏微分方程的基本解 351

4.3 Cauchy问题的基本解 360

习题十九 365

附录 Fourier变换表 366