第一章 矩阵理论的基本知识 1
1 矩阵与线性变换 1
1.1 矩阵与行列式，特征值与特征向量 2
1.2 线性变换与矩阵表示，相似性与 Jordan 法式 15
2 对称矩阵与 Hermite 矩阵，酉空间上的线性变换 26
2.1 正规变换与正规矩阵 26
2.2 Hermite 正定与正半定矩阵 34
2.3 幂等变换与幂等矩阵 43
3 矩阵的张量积与合成矩阵 47
3.1 矩阵的张量积 47
3.2 合成矩阵的基本性质 52
第一章参考文献 56
第二章 范数 57
1 向量范数 57
1.1 定义与例子 57
1.2 分析与几何性质 60
2 矩阵范数 64
2.1 广义矩阵范数 64
2.2 矩阵范数 68
3 关于向量范数与矩阵范数的进一步结果 76
3.1 对偶向量范数 77
3.2 绝对向量范数及其导出的矩阵范数 80
3.3 广义矩阵范数与矩阵范数的补充 84
4 度规函数与酉不变广义矩阵范数 89
4.1 度规函数与对称度规函数及其对偶 90
4.2 von Neumann 定理 94
第二章参考文献 99
第三章 矩阵函数 100
1 简单矩阵的函数 100
1.1 定义 100
1.2 简单矩阵函数的谱分解及其应用 102
2 一般矩阵的函数 106
2.1 一般定义与性质 106
2.3 矩阵函数的序列与级数 118
3 矩阵函数 f(A)：f 为解析函数情形 125
3.1 矩阵值函数的分析运算与矩阵的预解式 125
3.2 矩阵函数的积分形式定义与有关性质 129
4 对微分方程的应用 134
4.1 一阶常系数常微分方程组解的表达式 134
4.2 可观测与可控制的定常线性系统 140
第三章参考文献 148
第四章 线性矩阵方程与惯性理论 150
1 线性矩阵方程 150
1.1 矩阵方程的可解条件 150
1.2 矩阵方程 AX+XB=C 155
2 矩阵惯性定理 160
2.1 ляпунов 稳定性定理与 Stein 稳定性定理 160
2.2 矩阵惯性定理 164
3 Routh-Hurwitz 问题与 Schur-Cohn 问题 172
3.1 多项式对的 Bézout 矩阵与结式矩阵 172
3.2 Routh-Hurwitz 问题与 Schur-Cohn 问题：复多项式的情形 178
3.3 Routh-Hurwitz 问题：实多项式的情形 182
第四章参考文献 193
第五章 矩阵的广义逆 195
1 基于 Penrose 方程的λ-逆 195
1.1 基本概念与{1}-逆 195
1.2 其它λ-逆 201
1.3 在求解线性矩阵方程问题中的应用 208
2 方阵的谱广义逆 212
2.1 Drazin 逆 212
2.2 群逆与广义左(右)逆 215
2.3 矩阵的广义逆正性与单调性 219
第五章参考文献 223
第六章 特征值的定位与扰动 224
1 矩阵非奇异性定理与排除定理 224
1.1 严格对角占优矩阵与 Gerschgorin 圆盘定理 224
1.2 不可约矩阵的情形 229
2 对角占优矩阵的推广及其相应的排除定理 233
2.1 Brauer 定理与 Ostrowski 定理 233
2.2 Shemesh 定理与 Brualdi 定理 237
3 矩阵特征值的扰动 242
3.1 特征值的连续性结果与矩阵的谱变化 242
3.2 简单矩阵的特征值扰动 246
4 矩阵的解析扰动 253
4.1 问题与基本结果 253
4.2 单重特征值的扰动 259
4.3 多重特征值的扰动 262
第六章参考文献 268
第七章 非负矩阵理论 270
1 非负不可约矩阵的 Perron-Frobenius 理论 270
1.1 最基本的结果 270
1.2 Perron-Frobenius 理论的进一步结果 278
2 一般非负矩阵的情形 286
2.1 一般非负矩阵 Perron-Frobenius 理论的古典结果 286
2.2 Perron-Frobenins 定理的进一步推广 289
3 随机矩阵与双随机矩阵 296
3.1 随机矩阵与有限齐次 Markov 链 296
3.2 双随机矩阵 301
第七章参考文献 307
第八章 M-矩阵 308
1 非奇异 M-矩阵 308
1.1 主子式皆为正实数的实方阵 309
1.2 非奇异 M-矩阵的若干特性 311
1.3 G-函数与非奇异 M-矩阵 319
2 一般 M-矩阵 325
2.1 一般 M-矩阵的特征 326
2.2 带有“性质c”的 M-矩阵 332
2.3 M-矩阵与有限齐次 Markov 链 336
第八章参考文献 341
第九章 非负矩阵与 M-矩阵的应用 343
1 求解线性代数方程组的迭代方法 343
1.1 三种基本迭代方法与基本收敛引理 343
1.2 非负性，正定性与迭代法的收敛性 346
1.3 奇异线性方程组的情形 358
2 数理经济学中的投入-产出模型分析 362
2.1 引言与开式 Leontief 模型 362
2.2 闭式 Leontief 模型 372
第九章参考文献 376
符号表 378
索引 381