第一篇 数学思想发展简述 1
第一章 数学产生于社会实践 5
第一节 数学是对现实世界的反映 6
一 现实世界提供的“素材” 6
二 原始概念产生于实践活动之中 9
第二节 数的概念的产生 9
一 历史文物中反映的数概念 9
二 数概念形成的理论探讨 12
第三节 形的概念的形成 20
一 开端 20
二 发展 22
三 形成 23
第一节 巴比伦的泥板数学 27
第二章 文明古国的数学 27
第二节 古埃及的金字塔和纸草书 29
第三节 中国的甲骨文与数学 33
第四节 数学思想的一致性 36
第三章 数学思想的两大源泉--《几何原本》和《九章算术》 39
第一节 古希腊的《几何原本》 40
一 《几何原本》思想方法的特点 40
二 《几何原本》的思想方法源远流长 42
第二节 中国的《九章算术》 50
一 《九章算术》思想方法的特点 51
二 《九章算术》的思想方法承前启后 58
第四章 中国封建社会数学思想的特点 62
第一节 中国封建社会文化思想的特点 62
一 经世致用思想 63
二 辩证思想 64
三 系统思想 65
第二节 实用思想--中国古代数学思想的特点之一 66
一 开放的应用数学体系 67
二 中国古代的数理天文 72
第三节 神秘思想--中国古代数学思想的特点之二 77
第四节 算法化思想--中国古代数学思想的特点之三 82
一 开立圆术 82
二 关于数列的几个算法 83
三 开方术 84
四 天元术 85
五 四元术 86
第五节 辩证思想--中国古代数学思想的特点之四 88
一 极限思想 88
二 初步的运筹思想 93
第六节 正统思想--中国古代数学思想的特点之五 96
第七节 中国古代的数学成就简介 101
第五章 变量数学的兴起和发展--西方资本主义社会初期的数学思想 104
第一节 产生数学新思想的前奏 105
一 代数学的发展 105
二 在科学中应用数学的思想 110
第二节 变量思想进入数学--解析几何的产生 113
一 解析几何的基本思想 114
二 解析几何的意义 116
第三节 微积分的产生和初步发展 120
一 微积分产生的背景 120
二 微积分的初步思想 121
三 微积分思想对数学发展的影响 127
第六章 数学思想的飞跃--19世纪的数学思想 133
第一节 非欧几何思想的产生 134
一 第五公设的试证工作 135
二 非欧几何学的形成 136
第二节 群论思想的发展 138
一 方程论的研究情况 138
二 群论--代数结构思想的产生 141
三 阿贝尔和伽罗瓦的思想方法 143
四 群论思想对数学发展的意义 147
第三节 分析基础的建立 149
一 极限思想 150
二 实数理论 153
第四节 集合论思想 158
一 实无限的概念 158
二 集合论的基本思想方法 160
一 数学理论发展的新阶段 163
第五节 重要的数学成就 163
二 数学应用的新阶段 166
第七章 二十世纪数学思想举例 168
第一节 数学基础 169
一 集合论悖论简介 170
二 消除悖论的努力 172
三 三大学派的基本思想 177
四 数理逻辑的新发展 182
第二节 理论数学 186
一 抽象代数学 186
二 拓扑学 188
三 泛函分析 190
第三节 20世纪的数学成就 192
第二篇 数学方法概论 206
第一节 抽象的方法 207
第八章 抽象和概括 207
一 抽象过程 208
二 等置抽象 210
三 理想化方法 215
四 实现可能性抽象 220
第二节 概括的方法 225
一 概括与抽象的关系 225
二 概括过程 226
三 数的概念的扩张 230
第九章 证明和计算 236
第一节 证明 236
一 一般推理规则 236
二 数学证明的结构 240
三 证明的规则 241
四 形成证明 244
五 反驳 250
第二节 计算 252
一 什么是计算 253
二 算法 255
三 计算工具 264
四 数学计算的重要意义 273
第十章 公理法 275
第一节 什么是公理法 275
第二节 公理法的构成 278
一 公理系统和论域 278
二 概念和命题 283
第三节 公理法的发展 288
一 具体的公理体系 289
二 抽象的公理体系 290
三 形式化 294
第四节 公理法的作用和意义 300
第十一章 数学模型法 303
第一节 数学模型概念 303
第二节 数学模型的历史发展 304
第三节 建立数学模型的方法 306
一 建立数学模型的一般过程 306
二 建立数学模型的基本原则 308
第四节 数学模型法的应用 309
一 应用数学模型的意义 310
二 应用数学模型法的主要过程 314
第十二章 电子计算机对数学思想方法的影响 319
第一节 电子计算机的广泛应用 320
一 科学计算 320
二 过程控制 322
三 信息处理 324
第二节 形成新数学理论 328
一 形成新学科 328
二 对其他数学分支的影响 329
第三节 开拓了数学思想方法应用的新领域 331
一 扩展了应用范围 331
二 提高了应用数学思想方法的自觉性 336
第四节 奠定了系统科学的基础 337
一 控制论 337
二 运筹学 341
三 系统工程 344
第五节 数学思想方法的新发展 352
一 数学模拟方法的变革 352
二 离散数学的新发展 355
三 证明和计算趋向统一 358
第三篇 数学认识论浅说 363
第十三章 西方数学观简介 364
第一节 古希腊人的数学观 364
第二节 中世纪的数学观 370
一 黑暗时代 370
二 中世纪后期 372
第三节 文艺复兴时期的数学观 374
第四节 十七、十八世纪的数学观 376
一 十七世纪的数学观 376
二 十八世纪的数学观 380
第五节 十九世纪以后的数学观 384
一 集合论数学观 384
二 三大学派的数学观 386
三 晚近的一些观点 389
第十四章 数学的对象 395
第一节 关于数学对象的理解问题 395
一 数学的对象的特点 396
二 对“数学的对象”本身的理解 399
第二节 恩格斯的科学论述 402
一 阐明了数学对象的客观性 403
三 揭示了数学的特点 405
第三节 商榷：几种不同的界说 406
一 数学以现实世界为对象 406
二 数学没有特定的对象 407
三 过时论 409
四 结构观 410
一 数学概念没有直接的现实原型 413
第一节 高度的抽象性 413
第十五章 数学的特点 413
二 数学理论解释的特殊性 416
三 数学研究方法的抽象性 417
第二节 体系的严谨性 419
一 严格性是一个历史的概念 420
二 严格性是一个相对的概念 424
三 数学结论的确定性 425
第三节 应用的广泛性 429
一 数学向现代科学技术的全面渗透 429
二 指出了数学对象的历史性 440
二 数学的作用 441
第十六章 数学知识的结构 448
第一节 结构的意义和类别 449
第二节 数学宏观结构的历史演化 451
一 古代的数学结构观念 452
二 近代对数学结构的认识 453
第三节 数学的宏观结构 459
一 数学基础 460
二 代数学 461
三 几何学 464
四 分析数学 467
五 统计数学 469
六 计算数学 471
七 控制论、信息论 473
八 数学物理 474
九 运筹学 474
第四节 数学新理论举例--数学结构的不断发展 475
一 分数维几何学 475
二 突变理论 480
第一节 数学理论真理性的意义 487
一 真理概述 487
第十七章 数学理论的评价问题 487
二 数学真理性问题的特点 490
第二节 实践是检验真理的唯一标准 495
一 实践标准的意义 495
二 数学理论真理标准问题的特殊性 496
第三节 数学理论真理性的检验 499
一 数学理论实践检验的特点 499
二 数学理论真理性检验的复杂性 501
第四节 数学理论的价值评价问题 504
一 数学理论的价值性 504
二 历史上的评价标准 506
三 正确评价问题 508
一 数学命题的“不可证伪性” 512
第十八章 数学发展的规律性问题 512
第一节 数学发展的特点 512
二 数学理论发展的“概括”方式 514
第二节 数学理论的产生方式 517
一 以实际问题为起点的方式 518
二 以理论问题为起点的方式 522
三 数学理论发展的途径 528
第三节 数学发展的动力问题 534
一 生产力发展的需要是数学发展的最基本的动力 535
二 社会活动的需要是数学发展的重要动力 537
三 精神需要 539
第四节 现代数学的发展趋势 541
一 数学的辩证统一趋势 542
二 数学理论发展的“现代化”趋势 550