1.1 实数集合 1
1.集合论的某些基本概念 1
第一章 函数与极限 1
2.有理数域 4
3.实数域 5
4.不等式 7
5.绝对值 9
6.区间和邻域 10
习题1-1 12
1.一元函数的定义及其表示方法 14
1.2 一元函数的概念 14
2.反函数 18
3.复合函数 19
4.初等函数 20
5.几类具有某种特性的函数 21
习题1-2 25
1.3 数列的极限 27
1.数列的概念 27
2.收敛数列 30
3.用定义证明极限式的例子 31
习题7-4 33
4.收敛数列的性质 34
5.子数列 37
6.发散数列 37
习题1-3 38
1.4 函数的极限 40
1.引言 40
2.函数极限的定义 42
3.用定义证明极限式的例子 43
4.存在有限极限的函数之局部性质 45
5.左、右极限与全面极限的关系 47
6.函数极限的数列语言定义 48
习题1-4 51
1.5 无穷小量与无穷大量 53
1.无穷小量 53
2.存在有限极限的变量与无穷小量的关系 54
3.无穷大量 55
4.无穷小量与无穷大量之间的关系 55
习题1-5 56
1.6 极限的运算法则 56
1.有限极限的运算法则 57
2.复合函数的极限 62
3.出现待定式的情形 64
习题1-6 67
1.粗糙的比较 70
1.7 无穷小量阶的比较 70
2.精细的比较 71
3.等价无穷小量 72
习题1-7 74
1.8 判别极限存在的准则 74
1.上确界与下确界 75
2.单调变量的极限 79
3.重要极限limx→+∞(1+1/x)x=e 82
4.两个基本引理 85
5.柯西准则 88
习题1-8 92
2.1 定义和局部性质 94
第二章 函数的连续性 94
1.函数在点 x0的连续性 95
2.函数在点 x0的左(右)连续性 96
3.函数在区间上的连续性 96
4.连续函数的局部性质 97
5.间断点分类 98
6.分段连续函数 100
习题2-1 100
1.连续函数的四则运算法则 102
2.2 连续函数的运算法则 102
2.单调函数的连续性 103
3.复合函数的连续性 104
4.几个重要的极限 105
习题2-2 109
2.3 闭区间上连续函数的性质 110
1.引言 110
2.有界性定理 111
3.最大与最小值定理 111
4.介值定理 112
5.单调函数的反函数之连续性 115
习题2-3 116
6.初等函数的连续性 116
1.引言 117
2.4 一致连续性 117
2.定义和例子 119
3.康托定理 121
习题2-4 123
第三章 导数与微分 124
3.1 导数 124
1.引出导数的两个经典问题 124
2.导数的定义及其几何意义与物理意义 125
3.左导数与右导数 127
5.导函数 128
4.连续与可导的关系 128
6.基本求导法则与基本初等函数的导数公式 129
7.隐函数的导数 137
8.参数方程所确定的函数之导数 138
习题3-1 142
3.2 高阶导数 146
1.定义 146
2.几类基本初等函数的 n 阶导数公式 147
3.三个一般法则 149
习题3-2 152
1.微分的概念 153
3.3 微分 153
2.可微性与导数存在性之间的关系 154
3.一阶微分形式的不变性 156
4.微分在近似计算中的应用 158
5.高阶微分 160
习题3-3 161
第四章 微分中值定理和导数的应用 163
4.1 微分中值定理 163
1.几何直观的启示和定理的陈述 163
2.定理的证明 165
3.附注和例题 167
习题4-1 169
4.2 罗必达法则 170
1.0/0型待定式 171
2.∞/∞型待定式 172
3.例 175
习题4-2 178
1.多项式的泰勒公式 180
4.3 泰勒公式 180
2.任意函数的泰勒公式 181
3.几个基本初等数函的麦克劳林展式 184
4.应用举例 185
习题4-3 188
4.4 导数在研究函数中的应用 189
1.函数的单调性 189
2.函数的极值 190
3.曲线的凹凸性和拐点 193
4.渐近线 195
5.函数的作图 197
习题4-4 201
4.5 平面曲线的曲率 203
1.矩形公式 204
2.计算公式 204
1.定义和例子 204
3.曲率圆 206
习题4-5 209
4.6 方程的近似根 210
习题4-6 214
复习题一 214
第五章 不定积分 219
5.1 不定积分的概念与基本积分公式 219
1.原函数 219
2.不定积分 220
3.基本积分公式 222
习题5-1 224
5.2 换元积分法 225
1.换元积分公式 225
2.换元积分公式的应用(Ⅰ) 225
3.换元积分公式的应用(Ⅱ) 228
习题5-2 234
5.3 分部积分法 236
2.∫xalnmxdx,∫xaarcsinxdx 型的积分 237
1.∫xkeaxdx,∫xksinbxdx 型的积分 237
3.I1＝-∫eaxsinbxdx,I2＝∫eaxcosbxdx 求的法 238
4.求递推公式 239
5.其他例子 240
习题5-3 243
5.4 有理函数的积分 244
1.引言 244
2.一些代数知识 245
3.积分 248
4.实际作法 250
习题5-4 253
5.5 三角函数有理式的积分 253
习题5-5 257
5.6 简单无理函数的积分 258
1.∫R(x,?ax+b/cx+d)dx 型积分 258
2.∫R(x,?ax2+bx+c)dx 型积分 259
3.关于其他类型无理函数的积分 262
习题5-6 263
第六章 定积分 264
6.1 定积分的定义和简单性质 264
1.引出定积分的两个经典问题 264
2.定积分的定义 266
3.定积分的简单性质 268
习题6-1 270
6.2 函数的可积性 271
1.“下和”与“上和” 271
2.可积性准则 274
3.可积函数类型 276
习题6-2 278
6.3 定积分的进一步性质 278
习题6-3 283
1.变上限的定积分 284
6.4 微积分学的基本定理 284
2.牛顿-莱布尼兹公式 287
习题6-4 291
6.5 定积分的换元积分法和分部积分法 293
1.换元积分公式 294
2.分部积分公式 296
习题6-5 301
6.6 定积分的近似计算 304
2.梯形公式 305
3.抛物线公式 306
习题6-6 309
1.直角坐标系中面积的计算 311
7.1 平面图形的面积 311
第七章 定积分的应用 311
2.极坐标系中面积的计算 314
习题7-1 316
7.2 体积 317
1.已知横截面面积的立体之体积 317
2.旋转体体积 319
习题7-2 320
7.3 平面曲线的弧长 321
1.曲线用参数表示时的弧长公式 322
2.直角坐标系中曲线的弧长公式 325
3.极坐标系中曲线的弧长公式 327
4.弧微分的表达式 328
习题7-3 330
7.4 旋转面的面积 330
7.5 质量中心 333
1.平面曲线的质心 334
2.平面图形的形心 336
习题7-5 339
7.6 功 水压力 平均值 340
1.变力作功 340
2.水压力 342
3.函数的平均值 344
4.均方根 346
习题7-6 347
第八章 无穷级数 349
8.1 数项级数的基本概念 349
1.敛散性定义 349
2.收敛的充要条件 354
3.基本性质 355
习题8-1 358
8.2 正项级数的收敛性 360
习题8-2 369
8.3 任意项级数 371
1.交错级数收敛性 371
2.绝对收敛与条件收敛 372
3.级数的运算 376
习题8-3 380
8.4 函数项级数 一致收敛性 381
1.函数项级数的概念 381
2.一致收敛性 384
3.一致收敛性的判别法 386
习题8-4 391
8.5 一致收敛级数的性质 392
习题8-5 396
8.6 幂级数 397
1.幂级数的概念 397
2.幂级数的四则运算 401
3.幂级数的一致收敛性及分析运算 403
习题8-6 409
8.7 幂级数的应用 410
1.泰勒级数 410
2.几个基本初等函数的麦克劳林展式 412
3.函数的间接展开法 416
4.在近似计算等方面的应用举例 418
习题8-7 422
8.8 傅里叶级数 423
1.引言 423
2.函数 f(x)的傅里叶级数 426
3.傅氏级数的收敛性 431
4.有限区间上的函数之傅氏展式 438
习题8-8 443
复习题二 444
习题答案与提示 449