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1.1 实数集合 1

1.集合论的某些基本概念 1

第一章 函数与极限 1

2.有理数域 4

3.实数域 5

4.不等式 7

5.绝对值 9

6.区间和邻域 10

习题1-1 12

1.一元函数的定义及其表示方法 14

1.2 一元函数的概念 14

2.反函数 18

3.复合函数 19

4.初等函数 20

5.几类具有某种特性的函数 21

习题1-2 25

1.3 数列的极限 27

1.数列的概念 27

2.收敛数列 30

3.用定义证明极限式的例子 31

习题7-4 33

4.收敛数列的性质 34

5.子数列 37

6.发散数列 37

习题1-3 38

1.4 函数的极限 40

1.引言 40

2.函数极限的定义 42

3.用定义证明极限式的例子 43

4.存在有限极限的函数之局部性质 45

5.左、右极限与全面极限的关系 47

6.函数极限的数列语言定义 48

习题1-4 51

1.5 无穷小量与无穷大量 53

1.无穷小量 53

2.存在有限极限的变量与无穷小量的关系 54

3.无穷大量 55

4.无穷小量与无穷大量之间的关系 55

习题1-5 56

1.6 极限的运算法则 56

1.有限极限的运算法则 57

2.复合函数的极限 62

3.出现待定式的情形 64

习题1-6 67

1.粗糙的比较 70

1.7 无穷小量阶的比较 70

2.精细的比较 71

3.等价无穷小量 72

习题1-7 74

1.8 判别极限存在的准则 74

1.上确界与下确界 75

2.单调变量的极限 79

3.重要极限limx→+∞(1+1/x)x=e 82

4.两个基本引理 85

5.柯西准则 88

习题1-8 92

2.1 定义和局部性质 94

第二章 函数的连续性 94

1.函数在点 x0的连续性 95

2.函数在点 x0的左(右)连续性 96

3.函数在区间上的连续性 96

4.连续函数的局部性质 97

5.间断点分类 98

6.分段连续函数 100

习题2-1 100

1.连续函数的四则运算法则 102

2.2 连续函数的运算法则 102

2.单调函数的连续性 103

3.复合函数的连续性 104

4.几个重要的极限 105

习题2-2 109

2.3 闭区间上连续函数的性质 110

1.引言 110

2.有界性定理 111

3.最大与最小值定理 111

4.介值定理 112

5.单调函数的反函数之连续性 115

习题2-3 116

6.初等函数的连续性 116

1.引言 117

2.4 一致连续性 117

2.定义和例子 119

3.康托定理 121

习题2-4 123

第三章 导数与微分 124

3.1 导数 124

1.引出导数的两个经典问题 124

2.导数的定义及其几何意义与物理意义 125

3.左导数与右导数 127

5.导函数 128

4.连续与可导的关系 128

6.基本求导法则与基本初等函数的导数公式 129

7.隐函数的导数 137

8.参数方程所确定的函数之导数 138

习题3-1 142

3.2 高阶导数 146

1.定义 146

2.几类基本初等函数的 n 阶导数公式 147

3.三个一般法则 149

习题3-2 152

1.微分的概念 153

3.3 微分 153

2.可微性与导数存在性之间的关系 154

3.一阶微分形式的不变性 156

4.微分在近似计算中的应用 158

5.高阶微分 160

习题3-3 161

第四章 微分中值定理和导数的应用 163

4.1 微分中值定理 163

1.几何直观的启示和定理的陈述 163

2.定理的证明 165

3.附注和例题 167

习题4-1 169

4.2 罗必达法则 170

1.0/0型待定式 171

2.∞/∞型待定式 172

3.例 175

习题4-2 178

1.多项式的泰勒公式 180

4.3 泰勒公式 180

2.任意函数的泰勒公式 181

3.几个基本初等数函的麦克劳林展式 184

4.应用举例 185

习题4-3 188

4.4 导数在研究函数中的应用 189

1.函数的单调性 189

2.函数的极值 190

3.曲线的凹凸性和拐点 193

4.渐近线 195

5.函数的作图 197

习题4-4 201

4.5 平面曲线的曲率 203

1.矩形公式 204

2.计算公式 204

1.定义和例子 204

3.曲率圆 206

习题4-5 209

4.6 方程的近似根 210

习题4-6 214

复习题一 214

第五章 不定积分 219

5.1 不定积分的概念与基本积分公式 219

1.原函数 219

2.不定积分 220

3.基本积分公式 222

习题5-1 224

5.2 换元积分法 225

1.换元积分公式 225

2.换元积分公式的应用(Ⅰ) 225

3.换元积分公式的应用(Ⅱ) 228

习题5-2 234

5.3 分部积分法 236

2.∫xalnmxdx,∫xaarcsinxdx 型的积分 237

1.∫xkeaxdx,∫xksinbxdx 型的积分 237

3.I1＝-∫eaxsinbxdx,I2＝∫eaxcosbxdx 求的法 238

4.求递推公式 239

5.其他例子 240

习题5-3 243

5.4 有理函数的积分 244

1.引言 244

2.一些代数知识 245

3.积分 248

4.实际作法 250

习题5-4 253

5.5 三角函数有理式的积分 253

习题5-5 257

5.6 简单无理函数的积分 258

1.∫R(x,?ax+b/cx+d)dx 型积分 258

2.∫R(x,?ax2+bx+c)dx 型积分 259

3.关于其他类型无理函数的积分 262

习题5-6 263

第六章 定积分 264

6.1 定积分的定义和简单性质 264

1.引出定积分的两个经典问题 264

2.定积分的定义 266

3.定积分的简单性质 268

习题6-1 270

6.2 函数的可积性 271

1.“下和”与“上和” 271

2.可积性准则 274

3.可积函数类型 276

习题6-2 278

6.3 定积分的进一步性质 278

习题6-3 283

1.变上限的定积分 284

6.4 微积分学的基本定理 284

2.牛顿-莱布尼兹公式 287

习题6-4 291

6.5 定积分的换元积分法和分部积分法 293

1.换元积分公式 294

2.分部积分公式 296

习题6-5 301

6.6 定积分的近似计算 304

2.梯形公式 305

3.抛物线公式 306

习题6-6 309

1.直角坐标系中面积的计算 311

7.1 平面图形的面积 311

第七章 定积分的应用 311

2.极坐标系中面积的计算 314

习题7-1 316

7.2 体积 317

1.已知横截面面积的立体之体积 317

2.旋转体体积 319

习题7-2 320

7.3 平面曲线的弧长 321

1.曲线用参数表示时的弧长公式 322

2.直角坐标系中曲线的弧长公式 325

3.极坐标系中曲线的弧长公式 327

4.弧微分的表达式 328

习题7-3 330

7.4 旋转面的面积 330

7.5 质量中心 333

1.平面曲线的质心 334

2.平面图形的形心 336

习题7-5 339

7.6 功 水压力 平均值 340

1.变力作功 340

2.水压力 342

3.函数的平均值 344

4.均方根 346

习题7-6 347

第八章 无穷级数 349

8.1 数项级数的基本概念 349

1.敛散性定义 349

2.收敛的充要条件 354

3.基本性质 355

习题8-1 358

8.2 正项级数的收敛性 360

习题8-2 369

8.3 任意项级数 371

1.交错级数收敛性 371

2.绝对收敛与条件收敛 372

3.级数的运算 376

习题8-3 380

8.4 函数项级数 一致收敛性 381

1.函数项级数的概念 381

2.一致收敛性 384

3.一致收敛性的判别法 386

习题8-4 391

8.5 一致收敛级数的性质 392

习题8-5 396

8.6 幂级数 397

1.幂级数的概念 397

2.幂级数的四则运算 401

3.幂级数的一致收敛性及分析运算 403

习题8-6 409

8.7 幂级数的应用 410

1.泰勒级数 410

2.几个基本初等函数的麦克劳林展式 412

3.函数的间接展开法 416

4.在近似计算等方面的应用举例 418

习题8-7 422

8.8 傅里叶级数 423

1.引言 423

2.函数 f(x)的傅里叶级数 426

3.傅氏级数的收敛性 431

4.有限区间上的函数之傅氏展式 438

习题8-8 443

复习题二 444

习题答案与提示 449