第五章 多元函数微分学 1
第一节 多元函数的极限与连续性 1
一、多元函数的极限 1
二、多元函数的连续性 3
三、有界闭区域上多元连续函数的性质 4
习题5-1 5
第二节 偏导数 5
一、一阶偏导数 5
二、高阶偏导数 9
习题5-2 11
第三节 全微分 12
一、全微分的概念 12
二、多元函数可微分的条件 13
习题5-3 19
第四节 多元函数的求导法则 19
一、多元复合函数的求导法则 19
二、隐函数的求导法则 24
习题5-4 27
第五节 方向导数与梯度 29
一、方向导数 29
二、梯度 32
习题5-5 33
第六节 多元函数微分学的几何应用 34
一、空间曲线的切线与法平面 34
二、曲面的切平面与法线 36
习题5-6 39
第七节 多元函数的极值 40
一、多元函数的极值与最大值、最小值 40
二、条件极值 44
习题5-7 51
数学实验（五） 51
一、问题的描述 51
二、实验内容 52
三、思考与练习 55
数学文化（五） 55
一、偏导数的起源与演变 55
二、欧拉 55
第六章 多元函数积分学 58
第一节 二重积分 58
一、二重积分的概念 58
二、二重积分的性质 62
三、二重积分的计算 65
习题6-1 72
第二节 三重积分 74
一、三重积分的定义与性质 74
二、三重积分的计算 77
习题6-2 86
第三节 曲线积分 87
一、第一类曲线积分 87
二、第二类曲线积分 92
习题6-3 96
第四节 格林公式及其应用 96
一、格林公式 96
二、平面上曲线积分与路径无关的条件 100
习题6-4 103
第五节 第一类曲面积分 104
一、第一类曲面积分的定义 104
二、第一类曲面积分的性质及其对称性 106
三、第一类曲面积分的计算 106
习题6-5 109
第六节 第二类曲面积分 109
一、第二类曲面积分的定义与性质 109
二、第二类曲面积分的计算 113
三、高斯公式 115
习题6-6 117
第七节 多元函数积分学的物理应用 118
一、质心 118
二、转动惯量 121
三、功 123
习题6-7 124
数学实验（六） 125
一、问题的描述 125
二、实验内容 125
三、思考与练习 126
数学文化（六） 126
一、多元函数积分学的发展历程 126
二、高斯 127
第七章 无穷级数 130
第一节 常数项级数的概念与性质 130
一、常数项级数的概念 130
二、级数的基本性质 133
习题7-1 135
第二节 常数项级数敛散性的判别法 135
一、正项级数及其敛散性的判别法 136
二、交错级数及其判别法 142
三、绝对收敛与条件收敛 143
习题7-2 145
第三节 幂级数 146
一、函数项级数的一般概念 146
二、幂级数及其收敛性 147
三、幂级数的运算及和函数的性质 153
四、函数展开成幂级数 154
习题7-3 161
第四节 傅里叶级数 162
一、三角级数 162
二、三角函数系的正交性 163
三、傅里叶级数 164
四、正弦级数与余弦级数 169
习题7-4 172
数学实验（七） 172
一、问题的描述 172
二、实验内容 172
三、思考与练习 174
数学文化（七） 175
一、无穷级数的发展历程 175
二、傅里叶 178
第八章 微分方程 180
第一节 微分方程的基本概念 180
习题8-1 182
第二节 一阶微分方程的可积类型 183
一、可分离变量方程 183
二、可化为分离变量方程的类型 186
三、一阶线性方程 189
四、可化为一阶线性方程的类型 193
习题8-2 195
第三节 一阶微分方程的数值解法 196
一、欧拉方法 197
二、预报校正法 198
三、龙格-库塔法 199
习题8-3 200
第四节 可降阶的高阶微分方程 200
一、不显含未知函数的二阶微分方程 201
二、不显含自变量的二阶微分方程 203
习题8-4 206
第五节 二阶线性微分方程 206
一、二阶线性微分方程解的结构 206
二、二阶常系数齐次线性微分方程 208
三、二阶常系数非齐次线性微分方程 211
习题8-5 216
第六节 微分方程的应用 216
一、正规战问题 217
二、人口增长预报问题 221
数学实验（八） 224
一、利用数学软件求解微分方程 224
二、油气产量和可采储量的预测问题 225
数学文化（八） 229
一、常微分方程的起源与发展 229
二、伯努利家族 230
习题答案与提示 233
参考文献 245