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第五章 多元函数微分学 1

第一节 多元函数的极限与连续性 1

一、多元函数的极限 1

二、多元函数的连续性 3

三、有界闭区域上多元连续函数的性质 4

习题5-1 5

第二节 偏导数 5

一、一阶偏导数 5

二、高阶偏导数 9

习题5-2 11

第三节 全微分 12

一、全微分的概念 12

二、多元函数可微分的条件 13

习题5-3 19

第四节 多元函数的求导法则 19

一、多元复合函数的求导法则 19

二、隐函数的求导法则 24

习题5-4 27

第五节 方向导数与梯度 29

一、方向导数 29

二、梯度 32

习题5-5 33

第六节 多元函数微分学的几何应用 34

一、空间曲线的切线与法平面 34

二、曲面的切平面与法线 36

习题5-6 39

第七节 多元函数的极值 40

一、多元函数的极值与最大值、最小值 40

二、条件极值 44

习题5-7 51

数学实验（五） 51

一、问题的描述 51

二、实验内容 52

三、思考与练习 55

数学文化（五） 55

一、偏导数的起源与演变 55

二、欧拉 55

第六章 多元函数积分学 58

第一节 二重积分 58

一、二重积分的概念 58

二、二重积分的性质 62

三、二重积分的计算 65

习题6-1 72

第二节 三重积分 74

一、三重积分的定义与性质 74

二、三重积分的计算 77

习题6-2 86

第三节 曲线积分 87

一、第一类曲线积分 87

二、第二类曲线积分 92

习题6-3 96

第四节 格林公式及其应用 96

一、格林公式 96

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 100

习题6-4 103

第五节 第一类曲面积分 104

一、第一类曲面积分的定义 104

二、第一类曲面积分的性质及其对称性 106

三、第一类曲面积分的计算 106

习题6-5 109

第六节 第二类曲面积分 109

一、第二类曲面积分的定义与性质 109

二、第二类曲面积分的计算 113

三、高斯公式 115

习题6-6 117

第七节 多元函数积分学的物理应用 118

一、质心 118

二、转动惯量 121

三、功 123

习题6-7 124

数学实验（六） 125

一、问题的描述 125

二、实验内容 125

三、思考与练习 126

数学文化（六） 126

一、多元函数积分学的发展历程 126

二、高斯 127

第七章 无穷级数 130

第一节 常数项级数的概念与性质 130

一、常数项级数的概念 130

二、级数的基本性质 133

习题7-1 135

第二节 常数项级数敛散性的判别法 135

一、正项级数及其敛散性的判别法 136

二、交错级数及其判别法 142

三、绝对收敛与条件收敛 143

习题7-2 145

第三节 幂级数 146

一、函数项级数的一般概念 146

二、幂级数及其收敛性 147

三、幂级数的运算及和函数的性质 153

四、函数展开成幂级数 154

习题7-3 161

第四节 傅里叶级数 162

一、三角级数 162

二、三角函数系的正交性 163

三、傅里叶级数 164

四、正弦级数与余弦级数 169

习题7-4 172

数学实验（七） 172

一、问题的描述 172

二、实验内容 172

三、思考与练习 174

数学文化（七） 175

一、无穷级数的发展历程 175

二、傅里叶 178

第八章 微分方程 180

第一节 微分方程的基本概念 180

习题8-1 182

第二节 一阶微分方程的可积类型 183

一、可分离变量方程 183

二、可化为分离变量方程的类型 186

三、一阶线性方程 189

四、可化为一阶线性方程的类型 193

习题8-2 195

第三节 一阶微分方程的数值解法 196

一、欧拉方法 197

二、预报校正法 198

三、龙格-库塔法 199

习题8-3 200

第四节 可降阶的高阶微分方程 200

一、不显含未知函数的二阶微分方程 201

二、不显含自变量的二阶微分方程 203

习题8-4 206

第五节 二阶线性微分方程 206

一、二阶线性微分方程解的结构 206

二、二阶常系数齐次线性微分方程 208

三、二阶常系数非齐次线性微分方程 211

习题8-5 216

第六节 微分方程的应用 216

一、正规战问题 217

二、人口增长预报问题 221

数学实验（八） 224

一、利用数学软件求解微分方程 224

二、油气产量和可采储量的预测问题 225

数学文化（八） 229

一、常微分方程的起源与发展 229

二、伯努利家族 230

习题答案与提示 233

参考文献 245