第一章 行列式 1
1.1 基本内容提要 1
1.2 重要定理、公式与结论 5
1.3 典型题型与解题指导 7
题型Ⅰ 排列逆序数的计算 7
题型Ⅱ n阶行列式的概念 8
题型Ⅲ 低阶行列式的计算 12
题型Ⅳ 行列式按行（列）展开定理的应用 16
题型Ⅴ n阶行列式的计算 19
题型Ⅵ 利用范德蒙行列式进行计算 33
题型Ⅶ 克莱姆法则的应用 36
题型Ⅷ 综合杂例 38
习题精选一 46
习题精选一答案与提示 52
第二章 矩阵 56
2.1 基本内容提要 56
2.2 重要结论与公式 65
2.3 典型题型与解题指导 69
题型Ⅰ 矩阵的乘法运算问题 69
题型Ⅱ 求方阵的行列式 74
题型Ⅲ 逆矩阵的计算与证明 80
题型Ⅳ 涉及伴随矩阵的计算与证明 99
题型Ⅴ 有关初等变换与初等矩阵的命题 104
题型Ⅵ 解矩阵方程 105
题型Ⅶ 求矩阵的秩 109
题型Ⅷ 杂例 114
习题精选二 121
习题精选二答案与提示 128
第三章 向量 133
3.1 概念及其性质 133
3.2 重要定理与结论 136
3.3 题型分析与解题指导 138
题型Ⅰ 判定向量组的线性相关性 138
题型Ⅱ 已知一组向量线性无关，讨论另一组向量的线性相关性 143
题型Ⅲ 把一个向量用一组向量线性表示 155
题型Ⅳ 求向量组的极大线性无关组与秩 166
题型Ⅴ 求向量组与矩阵的秩 170
题型Ⅵ 矩阵秩的（不）等式证明 177
题型Ⅶ 杂例 183
习题精选三 189
习题精选三答案与提示 194
第四章 线性方程组 198
4.1 概念、性质、定理 198
4.2 典型题型与解题指导 202
题型Ⅰ 有关解的判定、性质和结构的问题 202
题型Ⅱ 不含参数的线性方程组求解 206
题型Ⅲ 含有参数的线性方程组的求解 211
题型Ⅳ 利用方程组求解向量的线性组合 225
题型Ⅴ 抽象线性方程组的求解 228
题型Ⅵ 有关基础解系的证明 231
题型Ⅶ 求方程组的公共解 235
题型Ⅷ 综合杂例 241
习题精选四 254
习题精选四答案与提示 262
第五章 向量空间与线性空间 267
5.1 向量空间的概念与性质 267
5.2 典型题型与解题指导 270
题型Ⅰ 判断一个向量集合是否构成向量空间 270
题型Ⅱ 求向量空间的基（底）与维数 271
题型Ⅲ 求过渡矩阵与向量的坐标 275
题型Ⅳ 有关向量空间命题的证明 283
题型Ⅴ 有关正交矩阵的证明 284
题型Ⅵ 填空题、单项选择题 286
5.3 线性空间的基本概念 289
5.4 典型题型与解题指导 293
题型Ⅰ 验证一个集合是否构成线性空间 293
题型Ⅱ 验证子集合是否为子空间 294
题型Ⅲ 求线性空间的基与维数 295
题型Ⅳ 求线性空间的基变换矩阵与坐标 297
题型Ⅴ 验证线性变换并求其在一组基下的矩阵 300
题型Ⅵ 有关线性空间命题的证明 301
习题精选五 304
习题精选五答案与提示 308
第六章 特征值和特征向量 311
6.1 概念、性质、定理 311
6.2 重要结论与公式 314
6.3 题型分析与解题指导 315
题型Ⅰ 数值矩阵特征值、特征向量的计算 315
题型Ⅱ 抽象矩阵求特征值 319
题型Ⅲ 矩阵特征值、特征向量逆问题的讨论 324
题型Ⅳ 特征值与特征向量有关命题的证明 333
题型Ⅴ 矩阵相似与对角化 337
题型Ⅵ 有关相似矩阵命题的证明 351
题型Ⅶ 有关实对称矩阵的命题 355
题型Ⅷ 特征值、特征向量与相似矩阵的应用 359
题型Ⅸ 综合杂例 368
习题精选六 376
习题精选六答案与提示 384
第七章 二次型 392
7.1 基本概念与定理 392
7.2 题型分析与解题指导 395
题型Ⅰ 化二次型为标准形 395
题型Ⅱ 求正、负惯性指数与合同矩阵 409
题型Ⅲ 有关正定二次型（正定矩阵）命题的求证 410
习题精选七 420
习题精选七答案与提示 424
参考文献 427