第1章 极限与连续 1
第1节 预备知识 1
1.1 集合 1
1.2 区间与邻域 2
1.3 数集的界 3
1.4 映射与函数 4
习题1-1 13
第2节 数列极限 15
2.1 数列与子数列的概念 15
2.2 数列极限的概念 16
2.3 数列极限的性质 21
2.4 数列极限的四则运算法则 24
2.5 数列极限存在的判别定理 26
习题1-2 30
第3节 函数极限 32
3.1 自变量趋于无穷大时函数的极限 32
3.2 自变量趋于有限值时函数的极限 34
3.3 单侧极限 37
习题1-3 38
第4节 函数极限的性质与运算法则 39
4.1 函数极限的性质 39
4.2 函数极限的运算法则 40
习题1-4 44
第5节 函数极限存在的条件 45
5.1 归结原理 45
5.2 夹逼准则与两个重要极限 47
5.3 函数极限的柯西收敛准则 50
习题1-5 51
第6节 无穷小与无穷大 52
6.1 无穷小 52
6.2 无穷大 54
6.3 无穷小的比较 55
习题1-6 59
第7节 函数的连续性与间断点 60
7.1 函数的连续性 60
7.2 间断点及其分类 62
7.3 连续函数的性质 64
习题1-7 66
第8节 闭区间上连续函数的性质 67
习题1-8 70
第9节 一致连续性 71
习题1-9 72
总习题一 73
第2章 导数与微分 75
第1节 导数的概念 75
1.1 引例 75
1.2 导数的定义 76
1.3 求导数举例 78
1.4 导数的几何意义 80
1.5 函数的可导性与连续性之间的关系 81
习题2-1 82
第2节 函数的求导法则 83
2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 83
2.2 反函数的求导法则 86
2.3 复合函数的求导法则 88
2.4 初等函数的求导公式与基本求导法则 90
习题2-2 92
第3节 隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数 93
3.1 隐函数的导数 93
3.2 参数方程所确定的函数的导数 96
3.3 相关变化率 99
习题2-3 100
第4节 高阶导数 102
4.1 高阶导数的定义 102
4.2 高阶导数的运算法则 104
习题2-4 106
第5节 微分 107
5.1 微分的概念 108
5.2 微分的基本公式和运算法则 111
5.3 高阶微分 113
5.4 微分在近似计算中的应用 114
习题2-5 116
总习题二 117
第3章 中值定理与导数的应用 120
第1节 微分中值定理 120
1.1 费马定理 120
1.2 罗尔中值定理 121
1.3 拉格朗日中值定理 123
1.4 柯西中值定理 127
习题3-1 129
第2节 泰勒公式 131
习题3-2 139
第3节 洛必达法则 140
3.1 “0/0”型未定式 141
3.2 “∞/∞”型未定式 143
3.3 其它类型的未定式 143
3.4 使用洛必达法则应该注意的问题 145
习题3-3 147
第4节 函数的单调性与极值 148
4.1 函数的单调性 148
4.2 函数的极值 151
4.3 函数的最大值最小值 154
习题3-4 157
第5节 曲线的凸性与函数作图 159
5.1 曲线的凸性 159
5.2 渐近线 164
5.3 函数的作图 165
习题3-5 168
第6节 平面曲线的曲率 169
6.1 弧微分 169
6.2 曲线的曲率 170
6.3 曲率的计算 171
6.4 曲率圆与曲率半径 172
习题3-6 174
总习题三 175
第4章 不定积分 177
第1节 原函数与不定积分的概念 177
1.1 原函数与不定积分 177
1.2 基本积分表 180
1.3 不定积分的线性运算法则 181
习题4-1 184
第2节 不定积分的换元积分法与分部积分法 185
2.1 换元积分法 185
2.2 分部积分法 193
习题4-2 197
第3节 有理函数的不定积分 198
习题4-3 204
第4节 可有理化函数的不定积分 204
4.1 三角函数有理式的不定积分 204
4.2 简单无理函数的不定积分 206
习题4-4 208
总习题四 208
第5章 定积分及其应用 211
第1节 定积分的概念 211
1.1 具体实例 211
1.2 定积分的定义 214
1.3 定积分的几何意义 216
习题5-1 219
第2节 定积分的性质 219
2.1 定积分的基本性质 220
2.2 积分中值定理 223
习题5-2 224
第3节 微积分基本定理 225
习题5-3 230
第4节 定积分的计算方法 231
4.1 定积分的换元积分法 231
4.2 定积分的分部积分法 235
习题5-4 237
第5节 定积分的几何应用举例 239
5.1 平面图形的面积 241
5.2 体积 243
5.3 平面曲线的弧长 247
习题5-5 248
第6节 定积分在物理中的应用 250
6.1 质量 250
6.2 功 252
6.3 液体的压力 253
6.4 引力 254
6.5 静力矩与质心 255
6.6 转动惯量 257
6.7 平均值、均方根值 258
习题5-6 260
第7节 定积分的近似计算 262
7.1 矩形法 262
7.2 梯形法 263
7.3 抛物线法 263
习题5-7 265
总习题五 266
第6章 反常积分 268
第1节 积分限为无穷的反常积分 268
1.1 积分限为无穷的反常积分概念 268
1.2 积分限为无穷的反常积分性质及判别法 272
习题6-1 276
第2节 无界函数的反常积分 278
2.1 无界函数的反常积分概念 278
2.2 无界函数的反常积分的性质及判别法 280
习题6-2 285
总习题六 286
第7章 微分方程 288
第1节 微分方程的基本概念 288
1.1 引例 288
1.2 常微分方程的基本概念 289
习题7-1 291
第2节 一阶微分方程 292
2.1 可分离变量的微分方程 292
2.2 可化为可分离变量型的方程 293
2.3 一阶线性微分方程 295
2.4 伯努利方程 298
习题7-2 298
第3节 可降阶的高阶微分方程 300
3.1 y(n)=f(x)情形 301
3.2 y"=f(x,y')情形 301
3.3 y"=f(y,y')情形 302
3.4 其它情形 304
3.5 二阶微分方程应用举例 305
习题7-3 309
第4节 线性微分方程解的结构 310
4.1 二阶齐次线性微分方程解的结构 310
4.2 二阶非齐次线性微分方程解的结构 311
4.3 解线性微分方程的常数变易法 312
习题7-4 315
第5节 常系数线性微分方程 316
5.1 二阶常系数齐次线性微分方程 316
5.2 二阶常系数非齐次线性微分方程 319
5.3 欧拉方程 323
5.4 常系数线性微分方程应用举例 325
习题7-5 328
总习题七 329
部分习题答案 332