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第1章　极限与连续 1

第1节 预备知识 1

1.1 集合 1

1.2 区间与邻域 2

1.3　数集的界 3

1.4　映射与函数 4

习题1-1 13

第2节 数列极限 15

2.1 数列与子数列的概念 15

2.2　数列极限的概念 16

2.3　数列极限的性质 21

2.4　数列极限的四则运算法则 24

2.5 数列极限存在的判别定理 26

习题1-2 30

第3节 函数极限 32

3.1 自变量趋于无穷大时函数的极限 32

3.2 自变量趋于有限值时函数的极限 34

3.3 单侧极限 37

习题1-3 38

第4节 函数极限的性质与运算法则 39

4.1 函数极限的性质 39

4.2 函数极限的运算法则 40

习题1-4 44

第5节 函数极限存在的条件 45

5.1 归结原理 45

5.2 夹逼准则与两个重要极限 47

5.3 函数极限的柯西收敛准则 50

习题1-5 51

第6节 无穷小与无穷大 52

6.1 无穷小 52

6.2 无穷大 54

6.3 无穷小的比较 55

习题1-6 59

第7节 函数的连续性与间断点 60

7.1 函数的连续性 60

7.2 间断点及其分类 62

7.3　连续函数的性质 64

习题1-7 66

第8节 闭区间上连续函数的性质 67

习题1-8 70

第9节 一致连续性 71

习题1-9 72

总习题一 73

第2章　导数与微分 75

第1节 导数的概念 75

1.1 引例 75

1.2　导数的定义 76

1.3　求导数举例 78

1.4　导数的几何意义 80

1.5 函数的可导性与连续性之间的关系 81

习题2-1 82

第2节 函数的求导法则 83

2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 83

2.2　反函数的求导法则 86

2.3 复合函数的求导法则 88

2.4 初等函数的求导公式与基本求导法则 90

习题2-2 92

第3节 隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数 93

3.1 隐函数的导数 93

3.2 参数方程所确定的函数的导数 96

3.3　相关变化率 99

习题2-3 100

第4节 高阶导数 102

4.1 高阶导数的定义 102

4.2 高阶导数的运算法则 104

习题2-4 106

第5节 微分 107

5.1　微分的概念 108

5.2　微分的基本公式和运算法则 111

5.3 高阶微分 113

5.4 微分在近似计算中的应用 114

习题2-5 116

总习题二 117

第3章 中值定理与导数的应用 120

第1节 微分中值定理 120

1.1 费马定理 120

1.2 罗尔中值定理 121

1.3　拉格朗日中值定理 123

1.4　柯西中值定理 127

习题3-1 129

第2节 泰勒公式 131

习题3-2 139

第3节 洛必达法则 140

3.1 “0/0”型未定式 141

3.2　“∞/∞”型未定式 143

3.3　其它类型的未定式 143

3.4 使用洛必达法则应该注意的问题 145

习题3-3 147

第4节 函数的单调性与极值 148

4.1 函数的单调性 148

4.2　函数的极值 151

4.3 函数的最大值最小值 154

习题3-4 157

第5节 曲线的凸性与函数作图 159

5.1 曲线的凸性 159

5.2 渐近线 164

5.3 函数的作图 165

习题3-5 168

第6节 平面曲线的曲率 169

6.1 弧微分 169

6.2 曲线的曲率 170

6.3 曲率的计算 171

6.4 曲率圆与曲率半径 172

习题3-6 174

总习题三 175

第4章　不定积分 177

第1节 原函数与不定积分的概念 177

1.1 原函数与不定积分 177

1.2　基本积分表 180

1.3 不定积分的线性运算法则 181

习题4-1 184

第2节 不定积分的换元积分法与分部积分法 185

2.1　换元积分法 185

2.2　分部积分法 193

习题4-2 197

第3节 有理函数的不定积分 198

习题4-3 204

第4节 可有理化函数的不定积分 204

4.1 三角函数有理式的不定积分 204

4.2 简单无理函数的不定积分 206

习题4-4 208

总习题四 208

第5章　定积分及其应用 211

第1节 定积分的概念 211

1.1 具体实例 211

1.2　定积分的定义 214

1.3 定积分的几何意义 216

习题5-1 219

第2节 定积分的性质 219

2.1 定积分的基本性质 220

2.2　积分中值定理 223

习题5-2 224

第3节 微积分基本定理 225

习题5-3 230

第4节 定积分的计算方法 231

4.1 定积分的换元积分法 231

4.2　定积分的分部积分法 235

习题5-4 237

第5节 定积分的几何应用举例 239

5.1 平面图形的面积 241

5.2　体积 243

5.3　平面曲线的弧长 247

习题5-5 248

第6节 定积分在物理中的应用 250

6.1 质量 250

6.2 功 252

6.3　液体的压力 253

6.4 引力 254

6.5　静力矩与质心 255

6.6　转动惯量 257

6.7 平均值、均方根值 258

习题5-6 260

第7节 定积分的近似计算 262

7.1 矩形法 262

7.2　梯形法 263

7.3　抛物线法 263

习题5-7 265

总习题五 266

第6章　反常积分 268

第1节 积分限为无穷的反常积分 268

1.1 积分限为无穷的反常积分概念 268

1.2　积分限为无穷的反常积分性质及判别法 272

习题6-1 276

第2节 无界函数的反常积分 278

2.1 无界函数的反常积分概念 278

2.2 无界函数的反常积分的性质及判别法 280

习题6-2 285

总习题六 286

第7章　微分方程 288

第1节 微分方程的基本概念 288

1.1 引例 288

1.2　常微分方程的基本概念 289

习题7-1 291

第2节 一阶微分方程 292

2.1 可分离变量的微分方程 292

2.2 可化为可分离变量型的方程 293

2.3　一阶线性微分方程 295

2.4　伯努利方程 298

习题7-2 298

第3节 可降阶的高阶微分方程 300

3.1 y(n)=f(x)情形 301

3.2　y"=f(x,y')情形 301

3.3　y"=f(y,y')情形 302

3.4　其它情形 304

3.5　二阶微分方程应用举例 305

习题7-3 309

第4节 线性微分方程解的结构 310

4.1 二阶齐次线性微分方程解的结构 310

4.2 二阶非齐次线性微分方程解的结构 311

4.3　解线性微分方程的常数变易法 312

习题7-4 315

第5节 常系数线性微分方程 316

5.1 二阶常系数齐次线性微分方程 316

5.2　二阶常系数非齐次线性微分方程 319

5.3　欧拉方程 323

5.4 常系数线性微分方程应用举例 325

习题7-5 328

总习题七 329

部分习题答案 332