第一章 拓扑空间和距离空间 1
引言 1
Ⅰ．直线R上的拓扑 2
1．开集、闭集、邻域、集合的界 2
2．序列极限．Cauchy收敛准则 5
3．有界闭区间的紧性 7
4．空间Rn的拓扑 8
Ⅱ．拓扑空间 9
5．开集、闭集、邻域 10
6．闭包、内部、边界 12
7．连续函数．同胚 16
8．极限概念 20
9．拓扑空间的子空间 23
10．空间的有限积 25
11．紧空间 29
12．局部紧空间．紧化 34
13．连通性 38
14．拓扑群、拓扑环和拓扑域 42
Ⅲ．距离空间 50
15．距离和拟距离 50
16．距离空间的拓扑 56
17．一致连续性 59
18．紧距离空间 63
19．连通距离空间 65
20．Cauchy列和完备空间 66
21．逐次逼近法的模式 72
22．简单收敛和一致收敛 75
23．等度连续函数空间 82
24．全变差和长度 85
Ⅳ．习题 92
直线R与空间Rn 92
拓扑空间 93
距离空间 97
Ⅴ．第一章的法汉术语对照和索引 103
Ⅵ．参考文献 105
Ⅶ．定义和公理 105
Ⅷ．经典记号的回顾 106
第二章 数值函数 108
Ⅰ．定义在任意集合上的数值函数 108
1．？（E,R）和？（E,？）上的序关系 108
2．数值函数的界 109
3．函数族的上包络和下包络 110
Ⅱ．数值函数的极限概念 112
4．函数沿E上的滤子基的上、下极限 112
5．函数族的上、下极限 114
6．在连续函数上的运算 115
Ⅲ．半连续数值函数 117
7．点上的半连续性 117
8．全空间上的下半连续函数 118
9．下半连续函数的构造 120
10．紧致空间上的半连续函数 120
11．长度的半连续性 121
Ⅳ．Stone-Weierstrass定理 124
12．Stone-Weierstrass定理 124
Ⅴ．定义在R的区间上的函数 129
13．左、右极限 129
14．单调函数 131
15．有限增量定理 132
16．凸函数的定义．直接性质 135
17．凸函数的连续性和可导性 136
18．凸性准则 138
19．向量空间的子集上的凸函数 140
20．单调函数的相对平均值 143
Ⅵ．习题 149
定义在任意集合上的数值函数 149
定义在拓扑空间上的数值函数 149
半连续数值函数 150
Stone-Weierstrass定理 150
定义在区间上的函数 151
凸函数 151
平均值和不等式 154
Ⅶ．第二章的法汉术语对照和索引 155
Ⅷ．参考文献 156
Ⅸ．定义和公理 157
第三章 拓扑向量空间 158
Ⅰ．一般拓扑向量空间．例子 158
1．拓扑向量空间的定义和初等性质 158
2．关联于半范数族的拓扑 161
3．拓扑向量空间的经典实例 169
Ⅱ．赋范空间 173
4．关联于范数的拓扑．连续线性映射 173
5．单态射和同构的稳定性 179
6．赋范空间的乘积．连续多重线性映射 182
7．有限维赋范空间 184
Ⅲ．可和族．级数．无穷乘积．赋范代数 187
8．实数可和族 187
9．拓扑群和赋范空间上的可和族 193
10．级数．级数的比较与可和族的比较 200
11．函数级数与函数可和族 205
12．复数可乘族与复数无穷乘积 208
13．赋范代数 213
Ⅳ．Hilbert空间 220
14．准Hilbert空间的定义和初步性质 220
15．正交投影．对偶的研究 227
16．正交系 232
17．Fourier级数和正交多项式 238
Ⅴ．习题 242
一般拓扑向量空间 242
关联于半范数族的拓扑 243
关联于范数的拓扑 246
范数的比较 246
范数和凸函数 247
赋范空间上的线性型 249
拓扑对偶空间和二次对偶空间 250
紧致线性映射 250
完备赋范空间 252
可分赋范空间 253
非连续线性映射 254
赋范空间的乘积和直和 255
有限维赋范空间 255
实数或复数的可和族 256
拓扑群和赋范空间上的可和族 256
级数．级数的比较与可和族的比较 258
函数级数与函数可和族 260
复数可乘族与复数无穷乘积 263
赋范代数 265
准Hilbert空间的初等性质 266
正交投影．对偶空间的研究 268
正交系 273
正交多项式 274
Ⅵ．第三章的法汉术语对照和索引 277
Ⅶ．参考文献 280
Ⅷ．定义和公理 281