第1章 函数 1
1.1 函数的概念 1
1.1.1 函数的概念 1
1.1.2 满射，单射，双射 2
1.1.3 反函数 3
1.1.4 复合函数 4
习题 4
1.2 反三角函数 6
1.2.1 反正弦函数x=arcsin y 6
1.2.2 反余弦函数x=arccos y 7
1.2.3 反正切函数x=arctan y 8
1.2.4 反余切x=arccot y 9
习题 10
1.3 函数的基本性质 11
1.3.1 函数的基本性质 11
1.3.2 初等函数 12
1.3.3 分段函数 13
1.3.4 隐函数 13
习题 14
第2章 函数的极限 15
2.1 极限的概念 15
2.1.1 x→x0时，函数f（x）的极限 15
2.1.2 x→∞时，函数f（x）的极限 18
2.1.3 数列的极限 19
习题 20
2.2 无穷小量与无穷大量 21
2.2.1 无穷小量 21
2.2.2 无穷小量的阶 22
2.2.3 无穷大量 23
2.2.4 无穷大量与无穷小量的关系，极限与无穷小量的关系 24
习题 24
2.3 极限的计算 25
2.3.1 用四则运算法则求极限 25
2.3.2 用两边夹定理求极限 26
习题 28
2.4 用两个重要极限求极限 29
2.4.1 重要极限lim x→0 sinx/x=1 29
2.4.2 重要极限lim x→0(1+1/x)x=e 31
习题 32
2.5 用等价无穷小量替换和变量替换求极限 34
2.5.1 用等价无穷小量替换求极限 34
2.5.2 用变量替换求极限 35
2.5.3 极限的思想 35
习题 36
第3章 函数的连续性 38
3.1 连续函数的概念 38
3.1.1 函数在一点连续的概念 38
3.1.2 函数在一点左、右连续 39
3.1.3 函数在一区间上连续 40
3.1.4 极限号可以取到连续函数里面去 40
习题 41
3.2 连续函数的性质 42
3.2.1 基本初等函数的连续性 42
3.2.2 连续函数的运算性质 42
3.2.3 初等函数的连续性 43
3.2.4 有界闭区间上的连续函数的性质 43
3.2.5 方程f(x)=0解的存在性定理 45
习题 45
第4章 导数与微分 47
4.1 导数的概念 47
4.1.1 引例 47
4.1.2 在一点处的导数 49
4.1.3 导函数 49
4.1.4 导函数、导数值的其他记号 50
4.1.5 导数的意义 50
习题 51
4.2 导数的基本公式与求导法则 52
4.2.1 基本初等函数的导数 52
4.2.2 函数的和、差、积、商的导数 53
习题 54
4.3 复合函数、反函数的求导法则 56
4.3.1 复合函数的求导公式 56
4.3.2 反函数的求导法则 58
4.3.3 导数基本公式与法则 60
习题 60
4.4 隐函数求导法，高阶导数 62
4.4.1 隐函数的导数 62
4.4.2 高阶导数 63
习题 64
4.5 函数的微分 66
4.5.1 函数改变量 66
4.5.2 微分的定义 67
4.5.3 可微与可导的关系，微分的计算 67
4.5.4 微分法则 69
4.5.5 复合函数微分法 69
习题 70
4.6 泰勒公式 71
4.6.1 泰勒公式 71
4.6.2 泰勒公式的直观推导 71
习题 74
第5章 微分中值定理及其应用 75
5.1 微分中值定理 75
5.1.1 拉格朗日微分中值定理 75
5.1.2 用导数符号判断函数的单调性 77
5.1.3 用单调性证明不等式 78
习题 79
5.2 函数的极值 80
5.2.1 极值的概念 80
5.2.2 极值的必要条件 81
5.2.3 极值的充分条件 82
5.2.4 极值的计算 83
习题 84
5.3 罗必塔法则 85
5.3.1 0/0型的未定式的极限 85
5.3.2 ∞／∞型的未定式的极限 87
5.3.3 其他类型的未定式的极限 88
习题 90
第6章 不定积分 91
6.1 不定积分的概念、公式与性质 91
6.1.1 不定积分的概念 91
6.1.2 基本初等函数的积分公式 93
6.1.3 不定积分的线性性质 94
6.1.4 直接积分法 94
习题 95
6.2 第一换元积分法 97
6.2.1 第一换元法（凑微分法） 97
6.2.2 几个积分公式 99
6.2.3 几个重要的三角函数积分 100
习题 101
6.3 第二换元积分法 103
习题 106
6.4 分部积分法 107
习题 110
第7章 定积分 111
7.1 定积分的概念 111
7.1.1 引例 111
7.1.2 定积分的定义 112
7.1.3 定积分的几何意义 113
习题 115
7.2 定积分的性质 116
习题 119
7.3 微积分基本定理 121
7.3.1 变上限积分 121
7.3.2 微积分第一基本定理（原函数存在定理） 121
7.3.3 微积分第二基本定理（牛顿—莱不尼兹公式） 123
7.3.4 定积分的又两条性质 124
7.3.5 关于术语“定积分”和“不定积分” 124
习题 125
7.4 定积分的换元积分法 126
7.4.1 定积分第一换元法（凑微分法） 126
7.4.2 定积分第二换元法 127
习题 129
7.5 定积分的分部积分法 130
7.5.1 定积分的分部积分法 130
7.5.2 一类三角函数式的积分 132
习题 133
7.6 无穷限广义积分 134
7.6.1 无穷限广义积分的概念 134
7.6.2 无穷限广义积分的计算 136
7.6.3 Г函数的概念 137
7.6.4 Г函数的性质 138
7.6.5 Г函数在整数点处的函数值 138
习题 139
7.7 定积分应用 140
7.7.1 平面图形的积分 140
7.7.2 旋转体体积 142
7.7.3 变速直线运动的路程 143
7.7.4 变力作功 144
习题 144
第8章 多元函数微分学 146
8.1 空间解析几何简介 146
8.1.1 空间直角坐标系 146
8.1.2 空间两点间的距离 147
8.1.3 空间中的曲面与方程 148
习题 150
8.2 多元函数 151
8.2.1 平面区域 151
8.2.2 多元函数的概念 152
8.2.3 二元函数的几何表示 153
习题 155
8.3 二元函数的极限与连续 156
8.3.1 二元函数的极限 156
8.3.2 二元函数的连续性 156
8.3.3 连续函数的性质 157
8.3.4 有界闭区域上连续函数的性质 157
习题 158
8.4 偏导数 159
8.4.1 在一点处的偏导数 159
8.4.2 偏导函数 159
8.4.3 高阶偏导数 161
习题 162
8.5 全微分 164
8.5.1 微分的概念 164
8.5.2 可微充分条件，全微分的计算 165
习题 166
8.6 复合函数微分法 167
8.6.1 两个中间变量，一个自变量 167
8.6.2 两个中间变量，两个自变量 169
习题 171
8.7 隐函数微分法 172
8.7.1 由方程F(x,y)=0确定的隐函数y=y（x）的导数 172
8.7.2 由方程F(x,y,z)=0确定的二元隐函数的导数 173
习题 174
8.8 二元函数的极值 175
8.8.1 极值的概念 175
8.8.2 极值必要条件 175
8.8.3 极值充分条件 177
8.8.4 极值计算步骤 177
习题 179
8.9 条件极值 180
8.9.1 条件极值问题 180
8.9.2 条件极值的计算 181
习题 184
第9章 重积分 185
9.1 二重积分的概念 185
9.1.1 引例 185
9.1.2 二重积分的定义 187
习题 189
9.2 二重积分的性质 190
习题 193
9.3 二重积分化为累次积分 194
9.3.1 当积分区域为X-型 194
9.3.2 当积分区域D为Y-型 196
习题 198
9.4 直角坐标系下二重积分的计算 199
习题 203
第10章 矩阵与线性方程组 205
10.1 矩阵 205
10.1.1 矩阵的概念 205
10.1.2 矩阵的加法 206
10.1.3 数乘矩阵 207
习题 209
10.2 行简化梯形阵与消元法 210
10.2.1 行简化梯形阵 210
10.2.2 矩阵的初等行变换 210
10.2.3 线性方程组 212
10.2.4 消元法与化矩阵为行简化梯形阵 213
习题 214
10.3 线性方程组的解法 216
10.3.1 引例 216
10.3.2 解线性方程组的步骤 216
10.3.3 通解与特解 220
习题 220
10.4 矩阵的乘法与逆矩阵 221
10.4.1 矩阵的乘法 221
10.4.2 线性方程组的矩阵表示 222
10.4.3 单位矩阵与可逆矩阵 222
10.4.4 逆矩阵的计算 223
习题 225
第11章 线性空间与线性映射 227
11.1 线性空间的概念 227
习题 231
11.2 线性空间的基与维数 232
11.2.1 线性组合 232
11.2.2 线性相关 232
11.2.3 矢量空间的基 234
11.2.4 矢量的坐标表示 235
习题 236
11.3 线性映射的矩阵表示 238
11.3.1 线性映射 238
11.3.2 用矩阵给出线性映射 238
11.3.3 线性映射用矩阵表示 239
11.3.4 矩阵运算的映射意义 241
习题 241
11.4 线性映射的零空间与值域 243
11.4.1 子空间 243
11.4.2 线性映射的零空间与值域 243
11.4.3 线性映射与线性方程组解的关系 246
习题 247
第12章 行列式 249
12.1 方阵的行列式 249
12.1.1 行列式的概念 249
12.1.2 行列式的几何意义 251
12.1.3 行列式几何意义的应用 253
习题 253
12.2 行列式的性质与计算 255
12.2.1 行列式的性质 255
12.2.2 行列式的计算 257
习题 259
12.3 克来姆法则 260
12.3.1 二个未知数，二个方程的线性方程组 260
12.3.2 n个未知数，n个方程的线性方程组 261
习题 262
12.4 齐次线性方程组 264
12.4.1 基础解系 264
12.4.2 n个未知数，n个方程的齐次线性方程组有非零解的条件 267
习题 268
第13章 特征值与特征矢量 269
13.1 坐标变换，相似矩阵 269
13.1.1 坐标变换 269
13.1.2 线性映射的矩阵表示 270
13.1.3 相似矩阵 271
13.1.4 可对角化矩阵 272
习题 273
13.2 特征值与特征矢量 274
13.2.1 特征值与特征矢量的概念 274
13.2.2 特征值与特征矢量的求法 274
13.2.3 计算举例 275
习题 277
13.3 矩阵的对角化 279
习题 283
第14章 随机事件与概率 284
14.1 样本空间与随机事件 284
14.1.1 随机现象与统计规律 284
14.1.2 随机试验 285
14.1.3 样本空间（或总体）、样本点 285
14.1.4 随机事件 286
14.1.5 事件间的三种运算 287
习题 288
14.2 随机事件的概率 289
14.2.1 概率的古典定义 289
14.2.2 概率的频率定义 290
14.2.3 条件概率 291
14.2.4 概率的性质 292
习题 293
14.3 概率的计算法则 294
14.3.1 事件的三种关系及概率法则 294
14.3.2 和事件的概率法则 296
14.3.3 积事件的概率法则 296
14.3.4 灵活运用概率计算法则 297
习题 297
第15章 随机变量 299
15.1 随机变量及其概率分布 299
15.1.1 随机变量 299
15.1.2 离散型随机变量 299
15.1.3 离散型随机变量的概率分布密度 300
15.1.4 连续型随机变量及其概率分布 302
习题 303
15.2 随机变量的期望与方差 305
15.2.1 离散型随机变量的期望 305
15.2.2 连续型随机变量的期望 307
15.2.3 随机变量的函数的期望 308
15.2.4 数学期望的性质 309
习题 309
15.3 随机变量的方差 310
15.3.1 随机变量的方差 310
15.3.2 方差的性质 311
15.3.3 期望与方差的预测意义 312
习题 314
15.4 正态随机变量 316
15.4.1 正态分布 316
15.4.2 正态分布的期望与方差 317
15.4.3 标准正态分布 318
习题 319
15.5 多元离散随机变量的概率密度 321
15.5.1 联合概率分布密度 321
15.5.2 边缘概率密度 322
15.5.3 条件概率分布密度 323
15.5.4 统计独立性 324
习题 325
15.6 协方差与相关性 326
15.6.1 多元连续随机变量的概率密度 326
15.6.2 协方差 326
15.6.3 协方差的性质 328
15.6.4 相关系数 329
习题 330
第16章 数值级数 331
16.1 级数的概念 331
16.1.1 级数的概念 331
16.1.2 等比级数的敛散性 332
16.1.3 P-级数的敛散性 333
16.1.4 交错级数及其判敛法 334
习题 335
16.2 级数的性质 336
习题 338
16.3 正项级数及其判敛法 340
16.3.1 比较判敛法 340
16.3.2 比值判敛法 341
16.3.3 根值判别法 342
习题 343
16.4 任意项级数 344
16.4.1 绝对收敛与条件收敛 344
16.4.2 任意项级数的判敛法 345
习题 346
第17章 幂级数 348
17.1 幂级数的收敛域 348
17.1.1 幂级数概念 348
17.1.2 幂级数的收敛域 349
17.1.3 幂级数收敛域的求法 350
17.1.4 幂级数的一般形式 351
习题 352
17.2 幂级数求和 354
17.2.1 幂级数为等比级数 354
17.2.2 幂级数的性质 355
17.2.3 幂级数求导后为等比级数 355
17.2.4 幂级数积分后为等比级数 356
习题 357
17.3 将函数用幂级数表示 358
17.3.1 f（x）泰勒展开式 358
17.3.2 f(x)=ex泰勒展开式 359
17.3.3 f(x)=sinx泰勒展开式 359
17.3.4 f(x)=cosx泰勒展开式 360
17.3.5 欧拉公式 360
习题 361
第18章 傅里叶级数 363
18.1 傅里叶级数的概念 363
18.1.1 周期函数 363
18.1.2 三角级数 364
18.1.3 将周期为2π的函数展成三角级数 365
18.1.4 傅里叶级数 367
习题 368
18.2 傅里叶级数的收敛定理 369
18.2.1 分段光滑函数 369
18.2.2 收敛定理 370
18.2.3 将函数展为傅里叶级数 371
习题 372
18.3 将函数展为傅里叶级数的例子 373
18.3.1 将函数展为傅里叶级数 373
18.3.2 偶函数和奇函数 374
18.3.3 奇偶函数的傅里叶级数 374
习题 376
18.4 以2l为周期的函数的傅里叶级数；傅里叶级数的物理意义 377
18.4.1 以2l为周期的函数的傅里叶级数 377
18.4.2 傅里叶级数的物理意义 379
习题 380
第19章 微分方程 381
19.1 微分方程的基本概念 381
19.1.1 微分方程的例 381
19.1.2 微分方程 383
19.1.3 微分方程的阶 383
19.1.4 微分方程的解 383
19.1.5 初始条件 384
19.1.6 初值问题 385
习题 385
19.2 可分离变量的方程 386
习题 388
19.3 一阶线性微分方程 389
19.3.1 一阶线性方程 389
19.3.2 一阶线性齐次方程的解法 389
19.3.3 一阶线性非齐次方程的解法 390
习题 391
19.4 二阶线性常系数齐次微分方程 393
19.4.1 二阶线性常系数齐次方程解的性质 393
19.4.2 二阶线性常系数齐次方程的特征方程 394
19.4.3 二阶线性常系数齐次方程的解法 395
习题 398
19.5 二阶线性常系数非齐次微分方程 399
19.5.1 二阶线性常系数非齐次方程解的结构定理 399
19.5.2 二阶线性常系数非齐次方程特解的求法 400
习题 402
第20章 矢量分析 403
20.1 矢量及其运算性质 403
20.1.1 矢量与标量 403
20.1.2 矢量的三种乘法 403
20.1.3 矢量乘法运算的坐标形式 405
20.1.4 标量三重积 406
习题 407
20.2 空间曲线与曲面的参数方程 409
20.2.1 空间曲线的参数方程 409
20.2.2 线矢量微元 409
20.2.3 曲线的切矢量 410
20.2.4 空间曲面的参数方程 411
20.2.5 面矢量微元dS及其分量 412
习题 414
20.3 场的梯度、散度与旋度 415
20.3.1 场 415
20.3.2 标量场的梯度 415
20.3.3 梯度的变化率意义 416
20.3.4 梯度的方向 416
20.3.5 哈米顿算子▽ 417
20.3.6 矢量场的散度 417
20.3.7 矢量场的旋度 418
习题 418
20.4 路径积分、环流 419
20.4.1 路径积分 419
20.4.2 路径积分的性质 420
20.4.3 环流 420
20.4.4 路径积分的计算方法 421
习题 422
20.5 通量、曲面积分 423
20.5.1 通量，曲面积分 423
20.5.2 曲面积分的计算方法 424
习题 426
20.6 梯度定理与高斯定理 427
20.6.1 梯度定理 427
20.6.2 高斯定理 428
20.6.3 高斯定理的直观推导 428
20.6.4 散度的物理意义 430
习题 430
20.7 斯托克斯定理 432
20.7.1 斯托克斯定理 432
20.7.2 斯托克斯定理的直观推导 432
20.7.3 旋度的物理意义 435
习题 436