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第1章　函数 1

1.1　函数的概念 1

1.1.1　函数的概念 1

1.1.2　满射，单射，双射 2

1.1.3　反函数 3

1.1.4　复合函数 4

习题 4

1.2　反三角函数 6

1.2.1　反正弦函数x=arcsin y 6

1.2.2　反余弦函数x=arccos y 7

1.2.3　反正切函数x=arctan y 8

1.2.4　反余切x=arccot y 9

习题 10

1.3　函数的基本性质 11

1.3.1 函数的基本性质 11

1.3.2　初等函数 12

1.3.3　分段函数 13

1.3.4　隐函数 13

习题 14

第2章　函数的极限 15

2.1　极限的概念 15

2.1.1　x→x0时，函数f（x）的极限 15

2.1.2　x→∞时，函数f（x）的极限 18

2.1.3　数列的极限 19

习题 20

2.2　无穷小量与无穷大量 21

2.2.1 无穷小量 21

2.2.2　无穷小量的阶 22

2.2.3　无穷大量 23

2.2.4　无穷大量与无穷小量的关系，极限与无穷小量的关系 24

习题 24

2.3　极限的计算 25

2.3.1　用四则运算法则求极限 25

2.3.2　用两边夹定理求极限 26

习题 28

2.4　用两个重要极限求极限 29

2.4.1　重要极限lim x→0 sinx/x=1 29

2.4.2　重要极限lim x→0(1+1/x)x=e 31

习题 32

2.5　用等价无穷小量替换和变量替换求极限 34

2.5.1　用等价无穷小量替换求极限 34

2.5.2　用变量替换求极限 35

2.5.3　极限的思想 35

习题 36

第3章　函数的连续性 38

3.1　连续函数的概念 38

3.1.1 函数在一点连续的概念 38

3.1.2　函数在一点左、右连续 39

3.1.3　函数在一区间上连续 40

3.1.4　极限号可以取到连续函数里面去 40

习题 41

3.2　连续函数的性质 42

3.2.1　基本初等函数的连续性 42

3.2.2　连续函数的运算性质 42

3.2.3　初等函数的连续性 43

3.2.4　有界闭区间上的连续函数的性质 43

3.2.5　方程f(x)=0解的存在性定理 45

习题 45

第4章　导数与微分 47

4.1　导数的概念 47

4.1.1 引例 47

4.1.2　在一点处的导数 49

4.1.3　导函数 49

4.1.4　导函数、导数值的其他记号 50

4.1.5　导数的意义 50

习题 51

4.2　导数的基本公式与求导法则 52

4.2.1　基本初等函数的导数 52

4.2.2　函数的和、差、积、商的导数 53

习题 54

4.3　复合函数、反函数的求导法则 56

4.3.1　复合函数的求导公式 56

4.3.2　反函数的求导法则 58

4.3.3　导数基本公式与法则 60

习题 60

4.4　隐函数求导法，高阶导数 62

4.4.1 隐函数的导数 62

4.4.2　高阶导数 63

习题 64

4.5　函数的微分 66

4.5.1　函数改变量 66

4.5.2　微分的定义 67

4.5.3　可微与可导的关系，微分的计算 67

4.5.4　微分法则 69

4.5.5　复合函数微分法 69

习题 70

4.6　泰勒公式 71

4.6.1 泰勒公式 71

4.6.2　泰勒公式的直观推导 71

习题 74

第5章　微分中值定理及其应用 75

5.1　微分中值定理 75

5.1.1　拉格朗日微分中值定理 75

5.1.2　用导数符号判断函数的单调性 77

5.1.3　用单调性证明不等式 78

习题 79

5.2　函数的极值 80

5.2.1　极值的概念 80

5.2.2　极值的必要条件 81

5.2.3　极值的充分条件 82

5.2.4　极值的计算 83

习题 84

5.3　罗必塔法则 85

5.3.1 0/0型的未定式的极限 85

5.3.2 ∞／∞型的未定式的极限 87

5.3.3　其他类型的未定式的极限 88

习题 90

第6章　不定积分 91

6.1　不定积分的概念、公式与性质 91

6.1.1　不定积分的概念 91

6.1.2　基本初等函数的积分公式 93

6.1.3　不定积分的线性性质 94

6.1.4　直接积分法 94

习题 95

6.2　第一换元积分法 97

6.2.1　第一换元法（凑微分法） 97

6.2.2　几个积分公式 99

6.2.3　几个重要的三角函数积分 100

习题 101

6.3　第二换元积分法 103

习题 106

6.4　分部积分法 107

习题 110

第7章　定积分 111

7.1　定积分的概念 111

7.1.1 引例 111

7.1.2　定积分的定义 112

7.1.3　定积分的几何意义 113

习题 115

7.2　定积分的性质 116

习题 119

7.3　微积分基本定理 121

7.3.1　变上限积分 121

7.3.2　微积分第一基本定理（原函数存在定理） 121

7.3.3　微积分第二基本定理（牛顿—莱不尼兹公式） 123

7.3.4　定积分的又两条性质 124

7.3.5　关于术语“定积分”和“不定积分” 124

习题 125

7.4　定积分的换元积分法 126

7.4.1　定积分第一换元法（凑微分法） 126

7.4.2　定积分第二换元法 127

习题 129

7.5　定积分的分部积分法 130

7.5.1　定积分的分部积分法 130

7.5.2　一类三角函数式的积分 132

习题 133

7.6　无穷限广义积分 134

7.6.1　无穷限广义积分的概念 134

7.6.2　无穷限广义积分的计算 136

7.6.3　Г函数的概念 137

7.6.4　Г函数的性质 138

7.6.5　Г函数在整数点处的函数值 138

习题 139

7.7　定积分应用 140

7.7.1　平面图形的积分 140

7.7.2　旋转体体积 142

7.7.3　变速直线运动的路程 143

7.7.4　变力作功 144

习题 144

第8章　多元函数微分学 146

8.1　空间解析几何简介 146

8.1.1　空间直角坐标系 146

8.1.2　空间两点间的距离 147

8.1.3　空间中的曲面与方程 148

习题 150

8.2　多元函数 151

8.2.1　平面区域 151

8.2.2　多元函数的概念 152

8.2.3　二元函数的几何表示 153

习题 155

8.3　二元函数的极限与连续 156

8.3.1　二元函数的极限 156

8.3.2　二元函数的连续性 156

8.3.3　连续函数的性质 157

8.3.4　有界闭区域上连续函数的性质 157

习题 158

8.4　偏导数 159

8.4.1　在一点处的偏导数 159

8.4.2　偏导函数 159

8.4.3　高阶偏导数 161

习题 162

8.5　全微分 164

8.5.1　微分的概念 164

8.5.2　可微充分条件，全微分的计算 165

习题 166

8.6　复合函数微分法 167

8.6.1　两个中间变量，一个自变量 167

8.6.2　两个中间变量，两个自变量 169

习题 171

8.7　隐函数微分法 172

8.7.1 由方程F(x,y)=0确定的隐函数y=y（x）的导数 172

8.7.2 由方程F(x,y,z)=0确定的二元隐函数的导数 173

习题 174

8.8　二元函数的极值 175

8.8.1　极值的概念 175

8.8.2　极值必要条件 175

8.8.3　极值充分条件 177

8.8.4　极值计算步骤 177

习题 179

8.9　条件极值 180

8.9.1　条件极值问题 180

8.9.2　条件极值的计算 181

习题 184

第9章　重积分 185

9.1　二重积分的概念 185

9.1.1 引例 185

9.1.2　二重积分的定义 187

习题 189

9.2　二重积分的性质 190

习题 193

9.3　二重积分化为累次积分 194

9.3.1 当积分区域为X-型 194

9.3.2　当积分区域D为Y-型 196

习题 198

9.4　直角坐标系下二重积分的计算 199

习题 203

第10章　矩阵与线性方程组 205

10.1　矩阵 205

10.1.1　矩阵的概念 205

10.1.2　矩阵的加法 206

10.1.3　数乘矩阵 207

习题 209

10.2　行简化梯形阵与消元法 210

10.2.1　行简化梯形阵 210

10.2.2　矩阵的初等行变换 210

10.2.3　线性方程组 212

10.2.4　消元法与化矩阵为行简化梯形阵 213

习题 214

10.3　线性方程组的解法 216

10.3.1 引例 216

10.3.2　解线性方程组的步骤 216

10.3.3　通解与特解 220

习题 220

10.4　矩阵的乘法与逆矩阵 221

10.4.1　矩阵的乘法 221

10.4.2　线性方程组的矩阵表示 222

10.4.3　单位矩阵与可逆矩阵 222

10.4.4　逆矩阵的计算 223

习题 225

第11章　线性空间与线性映射 227

11.1　线性空间的概念 227

习题 231

11.2　线性空间的基与维数 232

11.2.1　线性组合 232

11.2.2　线性相关 232

11.2.3　矢量空间的基 234

11.2.4　矢量的坐标表示 235

习题 236

11.3　线性映射的矩阵表示 238

11.3.1　线性映射 238

11.3.2　用矩阵给出线性映射 238

11.3.3　线性映射用矩阵表示 239

11.3.4　矩阵运算的映射意义 241

习题 241

11.4　线性映射的零空间与值域 243

11.4.1　子空间 243

11.4.2　线性映射的零空间与值域 243

11.4.3　线性映射与线性方程组解的关系 246

习题 247

第12章　行列式 249

12.1　方阵的行列式 249

12.1.1　行列式的概念 249

12.1.2　行列式的几何意义 251

12.1.3　行列式几何意义的应用 253

习题 253

12.2　行列式的性质与计算 255

12.2.1　行列式的性质 255

12.2.2　行列式的计算 257

习题 259

12.3　克来姆法则 260

12.3.1　二个未知数，二个方程的线性方程组 260

12.3.2　n个未知数，n个方程的线性方程组 261

习题 262

12.4　齐次线性方程组 264

12.4.1　基础解系 264

12.4.2　n个未知数，n个方程的齐次线性方程组有非零解的条件 267

习题 268

第13章　特征值与特征矢量 269

13.1　坐标变换，相似矩阵 269

13.1.1　坐标变换 269

13.1.2　线性映射的矩阵表示 270

13.1.3　相似矩阵 271

13.1.4　可对角化矩阵 272

习题 273

13.2　特征值与特征矢量 274

13.2.1　特征值与特征矢量的概念 274

13.2.2　特征值与特征矢量的求法 274

13.2.3　计算举例 275

习题 277

13.3　矩阵的对角化 279

习题 283

第14章　随机事件与概率 284

14.1　样本空间与随机事件 284

14.1.1　随机现象与统计规律 284

14.1.2　随机试验 285

14.1.3　样本空间（或总体）、样本点 285

14.1.4　随机事件 286

14.1.5　事件间的三种运算 287

习题 288

14.2　随机事件的概率 289

14.2.1　概率的古典定义 289

14.2.2　概率的频率定义 290

14.2.3　条件概率 291

14.2.4　概率的性质 292

习题 293

14.3　概率的计算法则 294

14.3.1　事件的三种关系及概率法则 294

14.3.2　和事件的概率法则 296

14.3.3　积事件的概率法则 296

14.3.4　灵活运用概率计算法则 297

习题 297

第15章　随机变量 299

15.1　随机变量及其概率分布 299

15.1.1　随机变量 299

15.1.2　离散型随机变量 299

15.1.3　离散型随机变量的概率分布密度 300

15.1.4　连续型随机变量及其概率分布 302

习题 303

15.2　随机变量的期望与方差 305

15.2.1　离散型随机变量的期望 305

15.2.2　连续型随机变量的期望 307

15.2.3　随机变量的函数的期望 308

15.2.4　数学期望的性质 309

习题 309

15.3　随机变量的方差 310

15.3.1 随机变量的方差 310

15.3.2　方差的性质 311

15.3.3　期望与方差的预测意义 312

习题 314

15.4　正态随机变量 316

15.4.1 正态分布 316

15.4.2　正态分布的期望与方差 317

15.4.3　标准正态分布 318

习题 319

15.5　多元离散随机变量的概率密度 321

15.5.1　联合概率分布密度 321

15.5.2　边缘概率密度 322

15.5.3　条件概率分布密度 323

15.5.4　统计独立性 324

习题 325

15.6　协方差与相关性 326

15.6.1　多元连续随机变量的概率密度 326

15.6.2　协方差 326

15.6.3　协方差的性质 328

15.6.4　相关系数 329

习题 330

第16章　数值级数 331

16.1　级数的概念 331

16.1.1　级数的概念 331

16.1.2　等比级数的敛散性 332

16.1.3　P-级数的敛散性 333

16.1.4　交错级数及其判敛法 334

习题 335

16.2　级数的性质 336

习题 338

16.3　正项级数及其判敛法 340

16.3.1　比较判敛法 340

16.3.2 比值判敛法 341

16.3.3　根值判别法 342

习题 343

16.4　任意项级数 344

16.4.1　绝对收敛与条件收敛 344

16.4.2　任意项级数的判敛法 345

习题 346

第17章　幂级数 348

17.1　幂级数的收敛域 348

17.1.1　幂级数概念 348

17.1.2　幂级数的收敛域 349

17.1.3　幂级数收敛域的求法 350

17.1.4　幂级数的一般形式 351

习题 352

17.2　幂级数求和 354

17.2.1　幂级数为等比级数 354

17.2.2　幂级数的性质 355

17.2.3　幂级数求导后为等比级数 355

17.2.4　幂级数积分后为等比级数 356

习题 357

17.3　将函数用幂级数表示 358

17.3.1　f（x）泰勒展开式 358

17.3.2　f(x)=ex泰勒展开式 359

17.3.3　f(x)=sinx泰勒展开式 359

17.3.4　f(x)=cosx泰勒展开式 360

17.3.5　欧拉公式 360

习题 361

第18章　傅里叶级数 363

18.1　傅里叶级数的概念 363

18.1.1　周期函数 363

18.1.2　三角级数 364

18.1.3　将周期为2π的函数展成三角级数 365

18.1.4　傅里叶级数 367

习题 368

18.2　傅里叶级数的收敛定理 369

18.2.1　分段光滑函数 369

18.2.2　收敛定理 370

18.2.3　将函数展为傅里叶级数 371

习题 372

18.3　将函数展为傅里叶级数的例子 373

18.3.1　将函数展为傅里叶级数 373

18.3.2　偶函数和奇函数 374

18.3.3　奇偶函数的傅里叶级数 374

习题 376

18.4　以2l为周期的函数的傅里叶级数；傅里叶级数的物理意义 377

18.4.1 以2l为周期的函数的傅里叶级数 377

18.4.2　傅里叶级数的物理意义 379

习题 380

第19章　微分方程 381

19.1　微分方程的基本概念 381

19.1.1　微分方程的例 381

19.1.2　微分方程 383

19.1.3　微分方程的阶 383

19.1.4　微分方程的解 383

19.1.5　初始条件 384

19.1.6　初值问题 385

习题 385

19.2　可分离变量的方程 386

习题 388

19.3　一阶线性微分方程 389

19.3.1　一阶线性方程 389

19.3.2　一阶线性齐次方程的解法 389

19.3.3　一阶线性非齐次方程的解法 390

习题 391

19.4　二阶线性常系数齐次微分方程 393

19.4.1　二阶线性常系数齐次方程解的性质 393

19.4.2　二阶线性常系数齐次方程的特征方程 394

19.4.3　二阶线性常系数齐次方程的解法 395

习题 398

19.5　二阶线性常系数非齐次微分方程 399

19.5.1　二阶线性常系数非齐次方程解的结构定理 399

19.5.2　二阶线性常系数非齐次方程特解的求法 400

习题 402

第20章　矢量分析 403

20.1　矢量及其运算性质 403

20.1.1　矢量与标量 403

20.1.2　矢量的三种乘法 403

20.1.3　矢量乘法运算的坐标形式 405

20.1.4　标量三重积 406

习题 407

20.2　空间曲线与曲面的参数方程 409

20.2.1 空间曲线的参数方程 409

20.2.2　线矢量微元 409

20.2.3 曲线的切矢量 410

20.2.4　空间曲面的参数方程 411

20.2.5　面矢量微元dS及其分量 412

习题 414

20.3　场的梯度、散度与旋度 415

20.3.1 场 415

20.3.2　标量场的梯度 415

20.3.3　梯度的变化率意义 416

20.3.4　梯度的方向 416

20.3.5　哈米顿算子▽ 417

20.3.6　矢量场的散度 417

20.3.7　矢量场的旋度 418

习题 418

20.4　路径积分、环流 419

20.4.1　路径积分 419

20.4.2　路径积分的性质 420

20.4.3　环流 420

20.4.4　路径积分的计算方法 421

习题 422

20.5　通量、曲面积分 423

20.5.1　通量，曲面积分 423

20.5.2 曲面积分的计算方法 424

习题 426

20.6　梯度定理与高斯定理 427

20.6.1　梯度定理 427

20.6.2　高斯定理 428

20.6.3　高斯定理的直观推导 428

20.6.4　散度的物理意义 430

习题 430

20.7　斯托克斯定理 432

20.7.1　斯托克斯定理 432

20.7.2　斯托克斯定理的直观推导 432

20.7.3　旋度的物理意义 435

习题 436