第一章 函数与极限 1
第一节 变量与函数 2
一、实数及其性质 2
二、数轴、集合、区间、邻域 3
三、函数及其图形 6
四、几类重要的分段函数 9
五、函数的几种特性 11
六、反函数 12
七、函数的四则运算法则与复合函数 13
八、初等函数与双曲函数 14
习题1-1 16
第二节 数列的极限 18
一、数列极限的定义 18
二、收敛数列的性质 23
三、收敛数列的四则运算 25
四、数列极限存在的判别准则 27
五、子数列的收敛性 30
六、重要极限 31
习题1-2 32
第三节 函数的极限 34
一、自变量趋于有限值时函数的极限 34
二、自变量趋于无穷大时函数的极限 36
三、单侧极限 37
四、函数极限的性质 39
五、无穷小量与无穷大量 41
六、函数极限与数列极限的关系 46
习题1-3 47
第四节 函数极限的四则运算与复合函数的极限 49
一、函数极限的四则运算 49
二、复合函数的极限运算 52
习题1-4 54
第五节 重要极限 无穷小的比较 55
一、函数极限存在准则 55
二、两个重要极限 55
三、无穷小阶的比较 59
习题1 5 62
第六节 函数的连续性与间断点 64
一、函数的连续性概念 64
二、连续函数的运算法则 67
三、函数的间断点及其分类 70
四、闭区间上连续函数的性质 72
习题1-6 77
第七节 Mathematica在函数、极限与连续中的应用 80
一、Mathematica基础知识 80
二、Mathematica在函数、极限中的应用 87
本章小结 91
总习题一 96
第二章 导数与微分 99
第一节 导数的概念 100
一、引例 100
二、导数的定义 102
三、导函数 105
四、导数的几何意义 107
五、函数的可导性与连续性的关系 107
六、导数在其它学科中的含义——变化率 109
习题2-1 110
第二节 微分的概念 112
一、微分的定义 112
二、微分的几何意义 115
三、利用微分进行近似计算 116
习题2-2 118
第三节 函数的微分法 119
一、函数和、差、积、商的导数与微分法则 119
二、复合函数的微分法 122
三、反函数的微分法 126
四、初等函数的微分 127
习题2-3 130
第四节 隐函数及由参数方程确定的函数的导数 133
一、隐函数求导 133
二、对数求导法 135
三、参数方程确定的函数的导数 138
四、相关变化率 141
习题2-4 142
第五节 高阶导数与高阶微分 143
一、高阶导数 143
二、高阶求导法则 146
三、高阶微分 149
习题2-5 150
第六节 Mathematica的应用——导数与微分的计算 152
一、基本命令 152
二、实验举例 152
第七节 几种常用的曲线 154
本章小结 158
总习题二 160
第三章 微分中值定理与导数的应用 163
第一节 微分中值定理 163
一、罗尔定理 164
二、拉格朗日中值定理 166
三、柯西中值定理 169
习题3-1 172
第二节 洛必达法则 173
一、0/0型未定式 174
二、∞/∞型未定式 175
三、其它类型的未定式 176
习题3-2 180
第三节 泰勒公式 181
习题3-3 189
第四节 函数的单调性与极值判定 190
一、函数的单调性及其判定 190
二、函数的极值及其判定 194
三、最大值和最小值问题 199
习题3-4 203
第五节 曲线的凹凸性与拐点 206
习题3-5 210
第六节 函数图形的描绘 211
一、曲线的渐近线 211
二、函数的作图 213
习题3-6 218
第七节 曲率 218
一、曲率 218
二、曲率圆与曲率半径 224
三、曲率中心的计算公式 渐屈线与渐伸线 225
习题3-7 227
第八节 Mathematica在导数中的应用 228
一、基本命令 228
二、实验举例 229
本章小结 230
总习题三 236
第四章 一元函数积分学及其应用 238
第一节 定积分的概念 239
一、定积分问题举例 239
二、定积分定义 241
三、定积分的存在性 244
习题4-1 246
第二节 定积分的性质 246
一、定积分的基本性质 246
二、积分中值定理 250
习题4-2 253
第三节 微积分基本公式与基本定理 254
一、微积分基本公式 254
二、微积分基本定理 256
习题4-3 261
第四节 不定积分的基本积分法 264
一、不定积分概念与性质 264
二、基本积分表 266
三、换元积分法 268
四、分部积分法 281
习题4-4 286
第五节 有理函数的积分 289
一、有理函数的积分 289
二、可化为有理函数的积分 293
习题4-5 299
第六节 定积分的计算法 300
习题4-6 305
第七节 定积分的应用 308
一、定积分的元素法 308
二、定积分在几何学中的应用 310
三、定积分在物理学中的应用 320
习题4-7 324
第八节 反常积分 327
一、问题提出 328
二、无穷限的反常积分 329
三、无界函数的反常积分 332
四、反常积分的审敛法 335
五、Γ函数 341
习题4-8 343
第九节 Mathematica在一元积分学中的应用 345
一、不定积分的计算 345
二、定积分的计算 347
三、定积分的应用 348
本章小结 349
总习题四 360
第五章 无穷级数 365
第一节 常数项级数的概念与性质 366
一、常数项级数的概念 366
二、收敛级数的基本性质 369
三、柯西收敛原理 371
习题5-1 372
第二节 常数项级数的审敛法 374
一、正项级数及其审敛法 374
二、交错级数及其审敛法 380
三、绝对收敛与条件收敛 382
习题5-2 388
第三节 幂级数 390
一、函数项级数的概念 390
二、幂级数及其收敛性 391
三、幂级数的运算 396
四、和函数的性质 397
习题5-3 399
第四节 函数展开成幂级数及其应用 400
一、泰勒级数 400
二、函数展开成幂级数 402
三、函数幂级数展开式的应用 409
习题5-4 417
第五节 傅里叶级数 417
一、问题的提出 417
二、三角函数系的正交性 420
三、函数展开成傅里叶级数 421
四、正弦级数与余弦级数 425
五、定义在有限区间［a，b］上的函数展开成傅里叶级数 427
六、定义在区间［0，l］上的函数展开成正弦级数或余弦级数 429
七、傅里叶级数的复数形式 431
习题5-5 433
第六节 Mathematica在级数中的应用 434
一、基本命令 434
二、实验举例 435
本章小结 436
总习题五 442
习题答案与提示 445
参考文献 468