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第一章 函数与极限 1

第一节 变量与函数 2

一、实数及其性质 2

二、数轴、集合、区间、邻域 3

三、函数及其图形 6

四、几类重要的分段函数 9

五、函数的几种特性 11

六、反函数 12

七、函数的四则运算法则与复合函数 13

八、初等函数与双曲函数 14

习题1-1 16

第二节 数列的极限 18

一、数列极限的定义 18

二、收敛数列的性质 23

三、收敛数列的四则运算 25

四、数列极限存在的判别准则 27

五、子数列的收敛性 30

六、重要极限 31

习题1-2 32

第三节 函数的极限 34

一、自变量趋于有限值时函数的极限 34

二、自变量趋于无穷大时函数的极限 36

三、单侧极限 37

四、函数极限的性质 39

五、无穷小量与无穷大量 41

六、函数极限与数列极限的关系 46

习题1-3 47

第四节 函数极限的四则运算与复合函数的极限 49

一、函数极限的四则运算 49

二、复合函数的极限运算 52

习题1-4 54

第五节 重要极限 无穷小的比较 55

一、函数极限存在准则 55

二、两个重要极限 55

三、无穷小阶的比较 59

习题1 5 62

第六节 函数的连续性与间断点 64

一、函数的连续性概念 64

二、连续函数的运算法则 67

三、函数的间断点及其分类 70

四、闭区间上连续函数的性质 72

习题1-6 77

第七节 Mathematica在函数、极限与连续中的应用 80

一、Mathematica基础知识 80

二、Mathematica在函数、极限中的应用 87

本章小结 91

总习题一 96

第二章 导数与微分 99

第一节 导数的概念 100

一、引例 100

二、导数的定义 102

三、导函数 105

四、导数的几何意义 107

五、函数的可导性与连续性的关系 107

六、导数在其它学科中的含义——变化率 109

习题2-1 110

第二节 微分的概念 112

一、微分的定义 112

二、微分的几何意义 115

三、利用微分进行近似计算 116

习题2-2 118

第三节 函数的微分法 119

一、函数和、差、积、商的导数与微分法则 119

二、复合函数的微分法 122

三、反函数的微分法 126

四、初等函数的微分 127

习题2-3 130

第四节 隐函数及由参数方程确定的函数的导数 133

一、隐函数求导 133

二、对数求导法 135

三、参数方程确定的函数的导数 138

四、相关变化率 141

习题2-4 142

第五节 高阶导数与高阶微分 143

一、高阶导数 143

二、高阶求导法则 146

三、高阶微分 149

习题2-5 150

第六节 Mathematica的应用——导数与微分的计算 152

一、基本命令 152

二、实验举例 152

第七节 几种常用的曲线 154

本章小结 158

总习题二 160

第三章 微分中值定理与导数的应用 163

第一节 微分中值定理 163

一、罗尔定理 164

二、拉格朗日中值定理 166

三、柯西中值定理 169

习题3-1 172

第二节 洛必达法则 173

一、0/0型未定式 174

二、∞/∞型未定式 175

三、其它类型的未定式 176

习题3-2 180

第三节 泰勒公式 181

习题3-3 189

第四节 函数的单调性与极值判定 190

一、函数的单调性及其判定 190

二、函数的极值及其判定 194

三、最大值和最小值问题 199

习题3-4 203

第五节 曲线的凹凸性与拐点 206

习题3-5 210

第六节 函数图形的描绘 211

一、曲线的渐近线 211

二、函数的作图 213

习题3-6 218

第七节 曲率 218

一、曲率 218

二、曲率圆与曲率半径 224

三、曲率中心的计算公式 渐屈线与渐伸线 225

习题3-7 227

第八节 Mathematica在导数中的应用 228

一、基本命令 228

二、实验举例 229

本章小结 230

总习题三 236

第四章 一元函数积分学及其应用 238

第一节 定积分的概念 239

一、定积分问题举例 239

二、定积分定义 241

三、定积分的存在性 244

习题4-1 246

第二节 定积分的性质 246

一、定积分的基本性质 246

二、积分中值定理 250

习题4-2 253

第三节 微积分基本公式与基本定理 254

一、微积分基本公式 254

二、微积分基本定理 256

习题4-3 261

第四节 不定积分的基本积分法 264

一、不定积分概念与性质 264

二、基本积分表 266

三、换元积分法 268

四、分部积分法 281

习题4-4 286

第五节 有理函数的积分 289

一、有理函数的积分 289

二、可化为有理函数的积分 293

习题4-5 299

第六节 定积分的计算法 300

习题4-6 305

第七节 定积分的应用 308

一、定积分的元素法 308

二、定积分在几何学中的应用 310

三、定积分在物理学中的应用 320

习题4-7 324

第八节 反常积分 327

一、问题提出 328

二、无穷限的反常积分 329

三、无界函数的反常积分 332

四、反常积分的审敛法 335

五、Γ函数 341

习题4-8 343

第九节 Mathematica在一元积分学中的应用 345

一、不定积分的计算 345

二、定积分的计算 347

三、定积分的应用 348

本章小结 349

总习题四 360

第五章 无穷级数 365

第一节 常数项级数的概念与性质 366

一、常数项级数的概念 366

二、收敛级数的基本性质 369

三、柯西收敛原理 371

习题5-1 372

第二节 常数项级数的审敛法 374

一、正项级数及其审敛法 374

二、交错级数及其审敛法 380

三、绝对收敛与条件收敛 382

习题5-2 388

第三节 幂级数 390

一、函数项级数的概念 390

二、幂级数及其收敛性 391

三、幂级数的运算 396

四、和函数的性质 397

习题5-3 399

第四节 函数展开成幂级数及其应用 400

一、泰勒级数 400

二、函数展开成幂级数 402

三、函数幂级数展开式的应用 409

习题5-4 417

第五节 傅里叶级数 417

一、问题的提出 417

二、三角函数系的正交性 420

三、函数展开成傅里叶级数 421

四、正弦级数与余弦级数 425

五、定义在有限区间［a，b］上的函数展开成傅里叶级数 427

六、定义在区间［0，l］上的函数展开成正弦级数或余弦级数 429

七、傅里叶级数的复数形式 431

习题5-5 433

第六节 Mathematica在级数中的应用 434

一、基本命令 434

二、实验举例 435

本章小结 436

总习题五 442

习题答案与提示 445

参考文献 468