第一章 向量代数与空间解析几何 1
第一节 向量的概念及向量的表示 1
一、向量的基本概念 1
二、空间直角坐标系及向量的坐标表示式 5
习题1-1 10
第二节 向量的数量积、向量积及混合积 11
一、向量的数量积 11
二、向量的向量积 14
三、向量的混合积 18
习题1-2 20
第三节 平面及其方程 21
一、平面及其方程 21
二、两平面间的夹角 24
三、点到平面的距离 26
习题1-3 27
第四节 空间直线及其方程 27
一、空间直线的方程 27
二、直线与直线及直线与平面的夹角 30
三、平面束方程及点到直线的距离 31
习题1-4 33
第五节 空间曲面、空间曲线及其方程 34
一、曲面及其方程 34
二、空间曲线及其方程 38
习题1-5 41
第六节 二次曲面的标准方程 42
习题1-6 46
第二章 多元函数微分学 47
第一节 多元函数的概念 47
一、二元函数的概念 47
二、平面区域 49
三、二元函数的几何意义 52
四、多元函数的概念 52
习题2-1 53
第二节 多元函数的极限与连续 54
一、多元函数的极限 54
二、多元函数的连续性 56
三、有界闭区域上连续函数的性质 57
四、二次极限 59
习题2-2 61
第三节 偏导数 62
一、偏导数的定义 62
二、二元函数偏导数的几何意义 65
三、偏导数与连续的关系 66
习题2-3 67
第四节 全微分 67
一、全微分的概念 67
二、全微分的运算法则 73
习题2-4 73
第五节 多元复合函数的求导法则 74
一、链式法则 74
二、全微分的形式不变性 78
三、微分中值定理 79
习题2-5 80
第六节 隐函数的导数 81
一、一个方程的情形 81
二、方程组的情形 85
习题2-6 87
第七节 高阶偏导数，高阶微分及泰勒公式 88
一、高阶偏导数 88
二、高阶微分 93
三、多元函数的泰勒公式 95
习题2-7 97
第八节 方向导数与梯度 98
一、方向导数 98
二、方向导数的计算 100
三、梯度 103
习题2-8 104
第三章 多元函数微分学的应用 105
第一节 空间曲线的切线和法平面方程 105
习题3-1 109
第二节 曲面的切平面和法线方程 109
一、曲面的切平面和法线方程 109
二、二元函数全微分的几何意义 113
习题3-2 114
第三节 无约束极值与有约束极值 114
一、无约束极值 115
二、函数的最大值和最小值 117
三、有约束极值 120
习题3-3 125
第四章 多元函数积分学 127
第一节 二重积分 127
一、一类数学模型 127
二、二重积分的概念与性质 129
三、二重积分的计算 131
习题4-1 144
第二节 三重积分 145
一、三重积分的概念与性质 145
二、三重积分的计算 147
习题4-2 157
第三节 广义二重积分 158
一、无界区域上的二重积分 158
二、含瑕点的二重积分 161
习题4-3 162
第四节 对弧长的曲线积分 163
一、对弧长的曲线积分的概念 163
二、对弧长的曲线积分的计算 165
三、对弧长的曲线积分的几何意义 168
习题4-4 169
第五节 对坐标的曲线积分 170
一、对坐标的曲线积分的概念 170
二、对坐标的曲线积分的计算 175
三、两类曲线积分的联系 180
习题4-5 182
第六节 格林公式 182
一、格林公式 182
二、平面上曲线积分与路径无关的条件 187
三、原函数与全微分方程举例 192
习题4-6 195
第七节 对面积的曲面积分 197
一、对面积的曲面积分的概念 197
二、对面积的曲面积分的计算 198
习题4-7 204
第八节 对坐标的曲面积分 204
一、双侧曲面及其投影 204
二、对坐标的曲面积分的概念 206
三、对坐标的曲面积分的计算 209
四、两类曲面积分之间的联系 212
习题4-8 213
第九节 高斯公式与斯托克斯公式 214
一、高斯公式 214
二、斯托克斯公式 217
习题4-9 222
第五章 多元函数积分学的应用 224
第一节 平面图形与曲面的面积 224
一、平面图形的面积 224
二、曲面的面积 227
习题5-1 229
第二节 立体的体积与曲线的弧长 229
一、立体的体积 229
二、弧长 232
习题5-2 233
第三节 多元函数积分学在物理中的应用 233
一、物体的质量 234
二、质心和形心 236
三、转动惯量 240
四、引力 244
习题5-3 247
第六章 向量函数与场论 248
第一节 向量函数的极限与连续性 248
一、向量函数的概念 248
二、向量函数的极限与连续性 249
习题6-1 250
第二节 向量函数的解析性质 251
一、向量函数的导数和偏导数 251
二、向量函数的微分 256
三、向量函数的积分 258
习题6-2 260
第三节 数量场及其物理量 260
一、数量场 260
二、数量场的方向导数和梯度 261
习题6-3 266
第四节 向量场及其物理量 266
一、向量场 266
二、通量与散度 268
三、环量与旋度 271
习题6-4 273
第五节 几个常见的重要场 274
一、有势场 274
二、无源场 275
三、调和场 277
习题6-5 277
第七章 含参变量的积分 279
第一节 含参变量积分的概念与运算 279
习题7-1 285
第二节 含参变量的无穷积分 285
一、含参变量的无穷积分的敛散性 285
二、含参变量的无穷积分的性质 288
习题7-2 292
第三节 Г函数与B函数 293
一、Г函数 293
二、B函数 296
习题7-3 299
第四节 含参变量积分应用举例 299
习题7-4 304
第八章 积分变换 305
第一节 傅里叶变换 305
一、傅里叶级数的复形式 305
二、傅里叶积分与傅里叶变换 308
三、δ函数的傅里叶变换 317
习题8-1 319
第二节 拉普拉斯变换 319
一、拉普拉斯变换的定义与存在条件 319
二、拉普拉斯变换的性质 322
三、拉普拉斯逆变换的求法 325
四、拉普拉斯变换的简单应用 327
习题8-2 328
第九章 偏微分方程 329
第一节 三类典型的偏微分方程 329
一、典型方程的建立 329
二、偏微分方程的一些基本概念 333
三、定解条件与定解问题 334
习题9-1 337
第二节 分离变量法 337
一、有界弦的自由振动 338
二、圆域内稳态温度的第一边值问题 341
三、施图姆-刘维尔固有值理论 343
习题9-2 345
第三节 分离变量法的进一步应用——非齐次情形 346
一、非齐次方程的混合问题 346
二、非齐次边界条件的处理 348
习题9-3 351
第四节 行波法 352
一、两个自变量的二阶线性方程的分类与化简 352
二、无界弦的自由横振动——达朗贝尔公式 356
三、无界弦的强迫振动 357
四、半无界弦的混合问题——对称延拓法 360
习题9-4 361
第五节 积分变换法 361
一、傅里叶变换法举例 362
二、拉普拉斯变换法举例 363
习题9-5 364
第六节 格林函数法 365
一、格林公式及其应用 365
二、格林函数 367
习题9-6 370
第七节 差分法 370
一、差商与差分方程 371
二、拉普拉斯方程的差分法 372
三、波动方程的差分法 375
四、热传导方程的差分法 376
习题9-7 377
习题答案 378
附录 393
附表1 傅里叶变换表 393
附表2 拉普拉斯变换表 397