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第一章 向量代数与空间解析几何 1

第一节 向量的概念及向量的表示 1

一、向量的基本概念 1

二、空间直角坐标系及向量的坐标表示式 5

习题1-1 10

第二节 向量的数量积、向量积及混合积 11

一、向量的数量积 11

二、向量的向量积 14

三、向量的混合积 18

习题1-2 20

第三节　平面及其方程 21

一、平面及其方程 21

二、两平面间的夹角 24

三、点到平面的距离 26

习题1-3 27

第四节　空间直线及其方程 27

一、空间直线的方程 27

二、直线与直线及直线与平面的夹角 30

三、平面束方程及点到直线的距离 31

习题1-4 33

第五节　空间曲面、空间曲线及其方程 34

一、曲面及其方程 34

二、空间曲线及其方程 38

习题1-5 41

第六节　二次曲面的标准方程 42

习题1-6 46

第二章 多元函数微分学 47

第一节　多元函数的概念 47

一、二元函数的概念 47

二、平面区域 49

三、二元函数的几何意义 52

四、多元函数的概念 52

习题2-1 53

第二节 多元函数的极限与连续 54

一、多元函数的极限 54

二、多元函数的连续性 56

三、有界闭区域上连续函数的性质 57

四、二次极限 59

习题2-2 61

第三节　偏导数 62

一、偏导数的定义 62

二、二元函数偏导数的几何意义 65

三、偏导数与连续的关系 66

习题2-3 67

第四节　全微分 67

一、全微分的概念 67

二、全微分的运算法则 73

习题2-4 73

第五节　多元复合函数的求导法则 74

一、链式法则 74

二、全微分的形式不变性 78

三、微分中值定理 79

习题2-5 80

第六节　隐函数的导数 81

一、一个方程的情形 81

二、方程组的情形 85

习题2-6 87

第七节　高阶偏导数，高阶微分及泰勒公式 88

一、高阶偏导数 88

二、高阶微分 93

三、多元函数的泰勒公式 95

习题2-7 97

第八节　方向导数与梯度 98

一、方向导数 98

二、方向导数的计算 100

三、梯度 103

习题2-8 104

第三章 多元函数微分学的应用 105

第一节　空间曲线的切线和法平面方程 105

习题3-1 109

第二节 曲面的切平面和法线方程 109

一、曲面的切平面和法线方程 109

二、二元函数全微分的几何意义 113

习题3-2 114

第三节　无约束极值与有约束极值 114

一、无约束极值 115

二、函数的最大值和最小值 117

三、有约束极值 120

习题3-3 125

第四章 多元函数积分学 127

第一节　二重积分 127

一、一类数学模型 127

二、二重积分的概念与性质 129

三、二重积分的计算 131

习题4-1 144

第二节　三重积分 145

一、三重积分的概念与性质 145

二、三重积分的计算 147

习题4-2 157

第三节　广义二重积分 158

一、无界区域上的二重积分 158

二、含瑕点的二重积分 161

习题4-3 162

第四节 对弧长的曲线积分 163

一、对弧长的曲线积分的概念 163

二、对弧长的曲线积分的计算 165

三、对弧长的曲线积分的几何意义 168

习题4-4 169

第五节　对坐标的曲线积分 170

一、对坐标的曲线积分的概念 170

二、对坐标的曲线积分的计算 175

三、两类曲线积分的联系 180

习题4-5 182

第六节　格林公式 182

一、格林公式 182

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 187

三、原函数与全微分方程举例 192

习题4-6 195

第七节　对面积的曲面积分 197

一、对面积的曲面积分的概念 197

二、对面积的曲面积分的计算 198

习题4-7 204

第八节　对坐标的曲面积分 204

一、双侧曲面及其投影 204

二、对坐标的曲面积分的概念 206

三、对坐标的曲面积分的计算 209

四、两类曲面积分之间的联系 212

习题4-8 213

第九节　高斯公式与斯托克斯公式 214

一、高斯公式 214

二、斯托克斯公式 217

习题4-9 222

第五章 多元函数积分学的应用 224

第一节　平面图形与曲面的面积 224

一、平面图形的面积 224

二、曲面的面积 227

习题5-1 229

第二节　立体的体积与曲线的弧长 229

一、立体的体积 229

二、弧长 232

习题5-2 233

第三节　多元函数积分学在物理中的应用 233

一、物体的质量 234

二、质心和形心 236

三、转动惯量 240

四、引力 244

习题5-3 247

第六章 向量函数与场论 248

第一节 向量函数的极限与连续性 248

一、向量函数的概念 248

二、向量函数的极限与连续性 249

习题6-1 250

第二节 向量函数的解析性质 251

一、向量函数的导数和偏导数 251

二、向量函数的微分 256

三、向量函数的积分 258

习题6-2 260

第三节　数量场及其物理量 260

一、数量场 260

二、数量场的方向导数和梯度 261

习题6-3 266

第四节　向量场及其物理量 266

一、向量场 266

二、通量与散度 268

三、环量与旋度 271

习题6-4 273

第五节　几个常见的重要场 274

一、有势场 274

二、无源场 275

三、调和场 277

习题6-5 277

第七章　含参变量的积分 279

第一节　含参变量积分的概念与运算 279

习题7-1 285

第二节　含参变量的无穷积分 285

一、含参变量的无穷积分的敛散性 285

二、含参变量的无穷积分的性质 288

习题7-2 292

第三节 Г函数与B函数 293

一、Г函数 293

二、B函数 296

习题7-3 299

第四节　含参变量积分应用举例 299

习题7-4 304

第八章　积分变换 305

第一节　傅里叶变换 305

一、傅里叶级数的复形式 305

二、傅里叶积分与傅里叶变换 308

三、δ函数的傅里叶变换 317

习题8-1 319

第二节　拉普拉斯变换 319

一、拉普拉斯变换的定义与存在条件 319

二、拉普拉斯变换的性质 322

三、拉普拉斯逆变换的求法 325

四、拉普拉斯变换的简单应用 327

习题8-2 328

第九章　偏微分方程 329

第一节　三类典型的偏微分方程 329

一、典型方程的建立 329

二、偏微分方程的一些基本概念 333

三、定解条件与定解问题 334

习题9-1 337

第二节　分离变量法 337

一、有界弦的自由振动 338

二、圆域内稳态温度的第一边值问题 341

三、施图姆-刘维尔固有值理论 343

习题9-2 345

第三节 分离变量法的进一步应用——非齐次情形 346

一、非齐次方程的混合问题 346

二、非齐次边界条件的处理 348

习题9-3 351

第四节　行波法 352

一、两个自变量的二阶线性方程的分类与化简 352

二、无界弦的自由横振动——达朗贝尔公式 356

三、无界弦的强迫振动 357

四、半无界弦的混合问题——对称延拓法 360

习题9-4 361

第五节　积分变换法 361

一、傅里叶变换法举例 362

二、拉普拉斯变换法举例 363

习题9-5 364

第六节　格林函数法 365

一、格林公式及其应用 365

二、格林函数 367

习题9-6 370

第七节　差分法 370

一、差商与差分方程 371

二、拉普拉斯方程的差分法 372

三、波动方程的差分法 375

四、热传导方程的差分法 376

习题9-7 377

习题答案 378

附录 393

附表1　傅里叶变换表 393

附表2　拉普拉斯变换表 397