第一章 Rn中的拉普拉斯算子与热方程 1
1.1历史背景 1
1.2格林公式 2
1.3热方程 3
后记 13
第二章 Rn中的函数空间 15
2.1空间Ck和Lp 15
2.2卷积与单位分解 17
2.3光滑函数逼近可积函数 20
2.4分布 23
2.5利用光滑函数逼近分布 28
2.6弱导数和索伯列夫空间 33
2.7 Rn中的热半群 40
后记 47
第三章 黎曼流形上的拉普拉斯算子 49
3.1光滑流形 49
3.2切向量 52
3.3黎曼距离 56
3.4黎曼测度 58
3.5散度定理 63
3.6拉普拉斯算子和加权流形 65
3.7子流形 68
3.8乘积流形 71
3.9 Rn， Sn， Hn中的极坐标 73
3.10模型流形 78
3.11路径的长度以及测地距离 84
3.12光滑映射和等距同构 90
后记 94
第四章 拉普拉斯算子和L2 （M）中的热方程 95
4.1分布与索伯列夫空间 95
4.2 Dirichlet Laplace算子和预解式 101
4.3热半群和L2-柯西问题 110
后记 120
第五章 弱极大值原理和相关话题 121
5.1W 1/0中的链式法则 121
5.2 W1中的链式法则 125
5.3预解式的马尔可夫性和热半群 129
5.4弱极大值原理 133
5.5子集中的预解式和热半群 141
后记 148
第六章 Rn中的正则性理论 149
6.1嵌入定理 149
6.2两个技术性引理 157
6.3局部椭圆正规性 160
6.4局部抛物正则性 169
后记 180
第七章 流形上的热核 183
7.1局部正则性问题 183
7.2半群解的光滑性 190
7.3热核 198
7.4热半群的延拓 202
7.5热核关于t， x， y的光滑性 209
后记 216
第八章 正解 219
8.1热半群的极小性 219
8.2预解式的延拓 221
8.3强极大值/极小值原理 224
8.4随机完备性 233
后记 243
第九章 作为基本解的热核 245
9.1基本解 245
9.2例子 250
9.3全局解 261
后记 265
第十章 谱性质 267
10.1希尔伯特空间中算子的谱 267
10.2谱的下确界 273
10.3底部特征函数 277
10.4相对紧区域上的热核 279
10.5极大极小值原理 286
10.6离散谱及紧嵌入定理 289
10.7λ1的正性 293
10.8 logpt的长期渐进性质 294
后记 296
第十一章 距离函数和完备性 297
11.1完备性的概念 297
11.2利普希茨函数 298
11.3本性自伴 303
11.4随机完备性和体积增长 306
11.5抛物流形 315
11.6谱和距离函数 319
后记 321
第十二章 积分形式的高斯估计 323
12.1积分极大值原理 323
12.2 Davies-Gaffney不等式 326
12.3高阶特征值的上界 329
12.4具有调和初始函数的半群解 333
12.5 Takeda不等式 334
后记 341
第十三章 格林函数和格林算子 343
13.1格林算子 343
13.2上平均函数 350
13.3局部哈纳克不等式 353
13.4α-调和函数序列的收敛 358
13.5正谱 359
13.6格林函数作为基本解 361
后记 364
第十四章 超压缩估计和特征值 367
14.1超压缩和热核界 367
14.2 Faber-Krahn不等式 369
14.3纳什不等式 370
14.4函数类L和Γ 374
14.5 Faber-Krahn蕴含超压缩性 382
14.6超压缩蕴含Faber-Krahn不等式 384
14.7较大特征值的下界 386
14.8直积上的Faber-Krahn不等式 389
后记 391
第十五章 点态高斯估计Ⅰ 393
15.1 L2-平均值不等式 393
15.2球中的Faber-Krahn不等式 399
15.3热核加权L2-范数 401
15.4在球的并集中的Faber-Krahn不等式 404
15.5对角线以外的上界 406
15.6相对Faber-Krahn不等式和Li-Yau上界 411
后记 416
第十六章 逐点高斯估计Ⅱ 417
16.1 Pt f的加权L2-范数 417
16.2热核的高斯上界 422
16.3对角线上的下界 424
16.4结语：构造热核的其他方法 428
后记和进一步的参考资料 429
附录A参考资料 431
A.1希尔伯特空间 431
A.2弱拓扑 432
A.3紧算子 434
A.4测度论和积分 434
A.5自伴随算子 444
A.6 Gamma函数 455
参考文献 457
符号列表 479
名词索引 481