第八章 空间解析几何与向量代数 1
第一节 空间直角坐标系 1
一、空间直角坐标系及点的坐标 1
二、两点间距离公式 2
三、曲面与方程 3
四、空间曲线的一般方程 4
习题8-1 5
第二节 向量及其运算 5
一、向量的概念 5
二、向量的线性运算 6
三、向量的数量积 12
四、向量的向量积 14
五、向量的混合积 17
习题8-2 18
第三节 平面方程 20
一、平面的点法式方程 20
二、平面的一般方程 21
三、两平面的夹角 24
习题8-3 24
第四节 空间直线的方程 25
一、空间直线的一般方程 25
二、空间直线的对称式方程与参数方程 25
三、两直线的夹角 27
四、直线与平面的夹角 27
五、杂例 28
习题8-4 30
第五节 几种常见的曲面 32
一、母线平行于坐标轴的柱面 32
二、旋转曲面及常见的二次曲面 33
习题8-5 37
第六节 空间曲线的参数方程 投影柱面 37
一、空间曲线的参数方程 37
二、空间曲线在坐标面上的投影 39
习题8-6 41
第九章 多元函数微分法及其应用 42
第一节 多元函数的基本概念 42
一、多元函数的概念 42
二、多元函数的极限 46
三、多元函数的连续性 48
习题9-1 49
第二节 偏导数 50
一、偏导数的定义及计算 50
二、高阶偏导数 55
习题9-2 57
第三节 全微分 58
习题9-3 63
第四节 多元复合函数的求导法则 63
习题9-4 70
第五节 隐函数的求导公式 71
一、一个方程确定的隐函数 71
二、由方程组确定的隐函数 73
习题9-5 76
第六节 多元微分学在几何上的应用 78
一、空间曲线的切线与法平面 78
二、曲面的切平面与法线 81
习题9-6 83
第七节 方向导数与梯度 84
一、方向导数的概念及计算 84
二、梯度 86
三、数量场与向量场 88
四、等高线 89
习题9-7 91
第八节 一元向量值函数及其导数 92
习题9-8 94
第九节 多元函数的极值与最值 95
一、二元函数的极值与最值 95
二、条件极值 99
习题9-9 103
第十节 二元函数的泰勒公式 103
一、二元函数的泰勒公式 103
二、极值充分条件的证明 106
习题9-10 107
第十一节 最小二乘法 108
习题9-11 111
第十章 重积分 112
第一节 二重积分的概念与性质 112
一、二重积分的概念 112
二、二重积分的性质 114
习题10-1 116
第二节 二重积分的计算法 118
一、利用直角坐标计算二重积分 118
二、利用极坐标计算二重积分 124
习题10-2 128
第三节 二重积分的应用 130
一、曲面的面积 130
二、二重积分在力学中的应用 132
习题10-3 134
第四节 三重积分 135
一、三重积分的概念 135
二、三重积分的计算 136
三、三重积分的应用 144
习题10-4 146
第十一章 曲线积分与曲面积分 149
第一节 对弧长的曲线积分 149
一、对弧长的曲线积分的概念 149
二、对弧长的曲线积分的计算 151
三、对弧长的曲线积分的应用 153
习题11-1 155
第二节 对坐标的曲线积分 156
一、对坐标的曲线积分的概念 156
二、对坐标的曲线积分的计算 159
三、两类曲线积分之间的关系 161
习题11-2 162
第三节 格林公式及其应用 163
一、格林公式 163
二、平面上曲线积分与路径无关的条件 167
三、二元函数的全微分求积 169
四、全微分方程 172
习题11-3 173
第四节 对面积的曲面积分 174
一、对面积的曲面积分的概念 174
二、对面积的曲面积分的计算 175
习题11-4 177
第五节 对坐标的曲面积分 178
一、有向曲面 178
二、对坐标的曲面积分的概念 179
三、两类曲面积分的联系 180
四、对坐标的曲面积分的计算 182
习题11-5 185
第六节 高斯公式 通量与散度 186
一、高斯公式 186
二、通量与散度 188
习题11-6 190
第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 191
一、斯托克斯公式 191
二、环流量与旋度 195
主要概念的背景与应用——多元积分 197
习题11-7 197
第十二章 级数 199
第一节 常数项级数的基本概念和性质 199
一、常数项级数的基本概念 199
二、级数的基本性质 202
习题12-1 205
第二节 常数项级数的审敛法 206
一、正项级数及其审敛法 206
二、交错级数及其审敛法 211
三、绝对收敛与条件收敛 212
习题12-2 214
第三节 幂级数 215
一、函数项级数的一般概念 215
二、幂级数及其收敛性 216
三、幂级数的运算 220
习题12-3 222
第四节 函数展开成幂级数 223
习题12-4 228
第五节 函数的幂级数展开式的应用 229
一、欧拉公式 229
二、近似计算 230
三、解微分方程 232
习题12-5 235
第六节 傅里叶级数 235
一、三角级数 236
二、三角函数系的正交性 236
三、函数展开成傅里叶级数 237
四、正弦级数和余弦级数 242
习题12-6 244
第七节 一般周期函数的傅里叶级数 245
一、周期为2ι的周期函数的傅里叶级数 245
二、傅里叶级数的复数形式 247
主要概念的背景与应用——无穷级数 249
习题12-7 250