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第八章 空间解析几何与向量代数 1

第一节 空间直角坐标系 1

一、空间直角坐标系及点的坐标 1

二、两点间距离公式 2

三、曲面与方程 3

四、空间曲线的一般方程 4

习题8-1 5

第二节 向量及其运算 5

一、向量的概念 5

二、向量的线性运算 6

三、向量的数量积 12

四、向量的向量积 14

五、向量的混合积 17

习题8-2 18

第三节 平面方程 20

一、平面的点法式方程 20

二、平面的一般方程 21

三、两平面的夹角 24

习题8-3 24

第四节 空间直线的方程 25

一、空间直线的一般方程 25

二、空间直线的对称式方程与参数方程 25

三、两直线的夹角 27

四、直线与平面的夹角 27

五、杂例 28

习题8-4 30

第五节 几种常见的曲面 32

一、母线平行于坐标轴的柱面 32

二、旋转曲面及常见的二次曲面 33

习题8-5 37

第六节 空间曲线的参数方程 投影柱面 37

一、空间曲线的参数方程 37

二、空间曲线在坐标面上的投影 39

习题8-6 41

第九章 多元函数微分法及其应用 42

第一节 多元函数的基本概念 42

一、多元函数的概念 42

二、多元函数的极限 46

三、多元函数的连续性 48

习题9-1 49

第二节 偏导数 50

一、偏导数的定义及计算 50

二、高阶偏导数 55

习题9-2 57

第三节 全微分 58

习题9-3 63

第四节 多元复合函数的求导法则 63

习题9-4 70

第五节 隐函数的求导公式 71

一、一个方程确定的隐函数 71

二、由方程组确定的隐函数 73

习题9-5 76

第六节 多元微分学在几何上的应用 78

一、空间曲线的切线与法平面 78

二、曲面的切平面与法线 81

习题9-6 83

第七节 方向导数与梯度 84

一、方向导数的概念及计算 84

二、梯度 86

三、数量场与向量场 88

四、等高线 89

习题9-7 91

第八节 一元向量值函数及其导数 92

习题9-8 94

第九节 多元函数的极值与最值 95

一、二元函数的极值与最值 95

二、条件极值 99

习题9-9 103

第十节 二元函数的泰勒公式 103

一、二元函数的泰勒公式 103

二、极值充分条件的证明 106

习题9-10 107

第十一节 最小二乘法 108

习题9-11 111

第十章 重积分 112

第一节 二重积分的概念与性质 112

一、二重积分的概念 112

二、二重积分的性质 114

习题10-1 116

第二节 二重积分的计算法 118

一、利用直角坐标计算二重积分 118

二、利用极坐标计算二重积分 124

习题10-2 128

第三节 二重积分的应用 130

一、曲面的面积 130

二、二重积分在力学中的应用 132

习题10-3 134

第四节 三重积分 135

一、三重积分的概念 135

二、三重积分的计算 136

三、三重积分的应用 144

习题10-4 146

第十一章 曲线积分与曲面积分 149

第一节 对弧长的曲线积分 149

一、对弧长的曲线积分的概念 149

二、对弧长的曲线积分的计算 151

三、对弧长的曲线积分的应用 153

习题11-1 155

第二节 对坐标的曲线积分 156

一、对坐标的曲线积分的概念 156

二、对坐标的曲线积分的计算 159

三、两类曲线积分之间的关系 161

习题11-2 162

第三节 格林公式及其应用 163

一、格林公式 163

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 167

三、二元函数的全微分求积 169

四、全微分方程 172

习题11-3 173

第四节 对面积的曲面积分 174

一、对面积的曲面积分的概念 174

二、对面积的曲面积分的计算 175

习题11-4 177

第五节 对坐标的曲面积分 178

一、有向曲面 178

二、对坐标的曲面积分的概念 179

三、两类曲面积分的联系 180

四、对坐标的曲面积分的计算 182

习题11-5 185

第六节 高斯公式 通量与散度 186

一、高斯公式 186

二、通量与散度 188

习题11-6 190

第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 191

一、斯托克斯公式 191

二、环流量与旋度 195

主要概念的背景与应用——多元积分 197

习题11-7 197

第十二章 级数 199

第一节 常数项级数的基本概念和性质 199

一、常数项级数的基本概念 199

二、级数的基本性质 202

习题12-1 205

第二节 常数项级数的审敛法 206

一、正项级数及其审敛法 206

二、交错级数及其审敛法 211

三、绝对收敛与条件收敛 212

习题12-2 214

第三节 幂级数 215

一、函数项级数的一般概念 215

二、幂级数及其收敛性 216

三、幂级数的运算 220

习题12-3 222

第四节 函数展开成幂级数 223

习题12-4 228

第五节 函数的幂级数展开式的应用 229

一、欧拉公式 229

二、近似计算 230

三、解微分方程 232

习题12-5 235

第六节 傅里叶级数 235

一、三角级数 236

二、三角函数系的正交性 236

三、函数展开成傅里叶级数 237

四、正弦级数和余弦级数 242

习题12-6 244

第七节 一般周期函数的傅里叶级数 245

一、周期为2ι的周期函数的傅里叶级数 245

二、傅里叶级数的复数形式 247

主要概念的背景与应用——无穷级数 249

习题12-7 250